Réponse :
Explications étape par étape
1) a f(x) = cos x /( 1 +2sinx)²
si u(x)= 1 + 2sinx u'(x) = 2cosx et f = 0,5 u' / u²
donc une primitive de f est F = - 0,5/ u = -0,5 / ( 1 + 2sinx)
2) k - g = cosx(1+2sinx) /(1+2sinx)² - sin2x /( 1 + 2sinx)²
=( cosx + 2sinxcosx - sin2x ) / (1+2sinx)²
= (cosx) / ( 1+2sinx)²
= f
donc H = F
et K - G = F
G = K - F + constante
or k = cos x/ (1+2sinx)
= u' / u
K = ln (u) u >0
K = ln( 1 + 2sinx)
G (x)= ln( 1 + 2sinx) + 0,5 /( 1 + 2sinx) + constante
G(pi/4)= 1 = ln( 1 + 2sin(pi/4) ) + 0,5/(1 +2sin (pi/4) ) +constante
constante = 1 - ln( 1 + √2) - 0,5/ ( 1 + √2)
G (x)= ln( 1 + 2sinx) + 0,5 /( 1 + 2sinx) + 1 - ln( 1 + √2) - 0,5/ ( 1 + √2)
2)a) f(x)= tan²x tan²x
si u =tanx u' = 1+tan²x
f(x)= u² ( u' -1) = u'u² - u² = u'u² - (u' -1) = u'u² - u' + 1
F = 1/3 u^3 - u + x
F(x)= 1/3 (tanx)^3 - tanx + x
b) f= sinx sin²xcos²x = sinx(1-cos²x)(cos²x)
=sinxcos²x - sinx(cosx)^4
F(x)= -1/3 (cosx)^3 + 1/5(cosx)^5
c) f= (cosx)^4 (sin²x) = (cosx)² (cosx)² (sinx)² = (cosx)²(cosxsinx)²
=1/8(1+cos2x)(sin2x)²
=1/8(sin2x)² + 1/8cos(2x)(sin2x)²
=1/16 - 1/16cos(4x) + 1/8cos(2x)(sin2x)²
F(x)= x/16 - 1/64 sin(4x) + 1/48 sin(2x)^3
