On peut multiplier les deux membres de l'inéquation par [tex](x+2)^2[/tex], sans changer le signe de l'inégalité (puisque [tex](x+2)^2 \ge 0[/tex]).
D'où :
[tex]f(x) \le -12 \iff \frac{-3}{(x+2)^2} \le -12 \iff -3 \le -12(x+2)^2[/tex][tex]\iff -1 \le -4(x+2)^2[/tex]
donc
[tex]f(x) \le -12 \iff -4x^2 -16x-15 \ge 0 \iff 4x^2+16x+15 \le 0[/tex].
On calcule le discriminant :
[tex]\Delta = 16^2-4 \times 4 \times 15=16[/tex]
donc on obtient deux solutions : [tex]x_{1/2} = \frac{-16 \pm \sqrt{16}}{2 \times 4}=\frac{-3}{2} \, ou \, \frac{-5}{2}[/tex].
Comme le coefficient du terme de plus haut degré est positif (c'est 4), le trinôme est négatif entre ces deux racines.
Les solutions sont donc [tex]\boxed{x \in [\frac{-5}{2},\frac{-3}{2}]}[/tex] et [tex]\boxed{x \not =-2}[/tex] (il faut que f(x) ait un sens, ce qui n'est pas le cas si x=-2, car on divise alors par 0).
