Sagot :
Réponse :
f(x) = x² + 3 x + 1 définie sur R
g(x) = - 1/(x+2) définie sur R \ {- 2}
1) étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation
f(x) = x² + 3 x + 1 ⇒ f '(x) = 2 x + 3 ; f '(x) = 0 = 2 x + 3 ⇔ x = - 3/2
x - ∞ - 3/2 + ∞
f '(x) - 0 +
f '(x) < 0 sur l'intervalle ]- ∞ ; - 3/2] ⇒ f est décroissante sur ]- ∞ ; - 3/2]
f '(x) > à // // [- 3/2 ; + ∞[ ⇒ f est croissante sur [- 3/2 ; + ∞[
x - ∞ - 3/2 + ∞
tableau de variation de f
f(x) + ∞→→→→→→→→→→→→→→→ - 5/4 →→→→→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
2) étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation
g(x) = - 1/(x+2) ⇒ g '(x) = 1/(x+2)²
1 > 0 et (x + 2)² > 0 donc la fonction g est croissante sur R \ {- 2 }
tableau de variation de g
x - ∞ - 2 + ∞
g(x) 0 →→→→→→→→→→→→→→ +∞ || - ∞ →→→→→→→→→→→→→→ 0
croissante croissante
3) h(x) = f(x) - g(x) définie sur R \ {- 2 }
a) montrer que h(x) = (x + 1)²(x + 3)/(x + 2)
h(x) = f(x) - g(x) ⇔ h(x) = x² + 3 x + 1) - (- 1/(x + 2))
⇔ h(x) = ((x + 2)(x² + 3 x + 1) + 1)/(x + 2)
= (x³ + 5 x² + 7 x + 3)/(x+2)
h(x) = (x + 1)²(x + 3)/(x + 2)
= (x² + 2 x + 1)(x + 3)/(x+2)
= (x³+ 3 x² + 2 x² + 6 x + x + 3)/(x + 2)
= (x³ + 5 x² + 7 x + 3)/(x+2)
les deux expressions sont identiques donc h(x) = (x + 1)²(x + 3)/(x + 2)
b) étudier le signe de h(x)
h(x) = (x + 1)²(x + 3)/(x + 2) or (x + 1)² > 0
x - ∞ - 3 - 2 + ∞
x+3 - 0 + +
x+2 - - || +
h(x) + 0 - || +
c) déterminer la position relative de Cg par rapport à g
h (x) > 0 sur l'intervalle ]- ∞ ; - 3]U]- 2 ; + ∞[ donc la courbe Cf est au-dessus de la courbe Cg
h(x) < 0 sur l'intervalle [- 3 ; - 2[ donc la courbe Cf est en dessous de la courbe Cg
h(x) = 0 ⇔ (x + 1)²(x + 3) = 0 car x + 2 ≠ 0
⇔ (x + 1)² = 0 ⇔ x = - 1 ou x + 3 = 0 ⇔ x = - 3
les abscisses des points d'intersection de Cf et Cg sont - 3 ; - 1
Explications étape par étape
Merci d'utiliser notre service. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour toutes vos questions. Revenez pour plus d'informations. Nous apprécions votre temps. Revenez nous voir pour des réponses fiables à toutes vos questions. Visitez Laurentvidal.fr pour obtenir de nouvelles et fiables réponses de nos experts.
