Sagot :
Réponse :
f(x) = x² + 3 x + 1 définie sur R
g(x) = - 1/(x+2) définie sur R \ {- 2}
1) étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation
f(x) = x² + 3 x + 1 ⇒ f '(x) = 2 x + 3 ; f '(x) = 0 = 2 x + 3 ⇔ x = - 3/2
x - ∞ - 3/2 + ∞
f '(x) - 0 +
f '(x) < 0 sur l'intervalle ]- ∞ ; - 3/2] ⇒ f est décroissante sur ]- ∞ ; - 3/2]
f '(x) > à // // [- 3/2 ; + ∞[ ⇒ f est croissante sur [- 3/2 ; + ∞[
x - ∞ - 3/2 + ∞
tableau de variation de f
f(x) + ∞→→→→→→→→→→→→→→→ - 5/4 →→→→→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
2) étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation
g(x) = - 1/(x+2) ⇒ g '(x) = 1/(x+2)²
1 > 0 et (x + 2)² > 0 donc la fonction g est croissante sur R \ {- 2 }
tableau de variation de g
x - ∞ - 2 + ∞
g(x) 0 →→→→→→→→→→→→→→ +∞ || - ∞ →→→→→→→→→→→→→→ 0
croissante croissante
3) h(x) = f(x) - g(x) définie sur R \ {- 2 }
a) montrer que h(x) = (x + 1)²(x + 3)/(x + 2)
h(x) = f(x) - g(x) ⇔ h(x) = x² + 3 x + 1) - (- 1/(x + 2))
⇔ h(x) = ((x + 2)(x² + 3 x + 1) + 1)/(x + 2)
= (x³ + 5 x² + 7 x + 3)/(x+2)
h(x) = (x + 1)²(x + 3)/(x + 2)
= (x² + 2 x + 1)(x + 3)/(x+2)
= (x³+ 3 x² + 2 x² + 6 x + x + 3)/(x + 2)
= (x³ + 5 x² + 7 x + 3)/(x+2)
les deux expressions sont identiques donc h(x) = (x + 1)²(x + 3)/(x + 2)
b) étudier le signe de h(x)
h(x) = (x + 1)²(x + 3)/(x + 2) or (x + 1)² > 0
x - ∞ - 3 - 2 + ∞
x+3 - 0 + +
x+2 - - || +
h(x) + 0 - || +
c) déterminer la position relative de Cg par rapport à g
h (x) > 0 sur l'intervalle ]- ∞ ; - 3]U]- 2 ; + ∞[ donc la courbe Cf est au-dessus de la courbe Cg
h(x) < 0 sur l'intervalle [- 3 ; - 2[ donc la courbe Cf est en dessous de la courbe Cg
h(x) = 0 ⇔ (x + 1)²(x + 3) = 0 car x + 2 ≠ 0
⇔ (x + 1)² = 0 ⇔ x = - 1 ou x + 3 = 0 ⇔ x = - 3
les abscisses des points d'intersection de Cf et Cg sont - 3 ; - 1
Explications étape par étape
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