Explications étape par étape:
Bonsoir, alors l'algèbre linéaire ce n'est pas évident à première vue, analyse bien ton cours.
1- Soit Ker A, noyau de ta matrice. Soit X € Ker(A) alors, par définition, AX = 0. Il faut donc déterminer ce X. Comme ta matrice dispose de 3 lignes et 3 colonnes, écrivons par commodité X = (x, y, z), un vecteur colonne, et résolvons le système associé à AX = 0.
Si tu as de l'expérience, tu peux prévoir le résultat.
En premier lieu, on remarque que la 2e ligne de ta matrice est l'opposé de la 1re ligne, on peut donc la supprimer pour résoudre le système. AX = 0, c'est donc l'intersection de 2 plans. La 3e ligne est différente de la 1re, on obtiendra donc une droite à la fin.
AX = 0 <==> 2x + y = 0, et 10x + 8y + 2z = 0 <==> y = -2x et 10x - 16x + 2z = 0 d'où 2z - 6x = 0, puis z = 3x.
On peut donc poser comme base de Ker A, le vecteur u = (1, -2, 3), qui forme bien une droite.
2- Ici aussi, on peut prévoir le résultat. Par le théorème du rang, on sait que dim Ker A + dim Im A = 3, donc dim Im A = 3 - dim Ker A = 2.
Il faut analyser les vecteurs colonnes de ta matrice, il suffit d'en trouver 2 qui ne sont pas colinéaires, pour trouver une base de Im A car on sait que dim Im A = 2. La question étant de trouver lesquels.
Soit v1, v2 et v3, les vecteurs colonnes successifs de ta matrice. On remarque astucieusement que v2 = (1/2)*v1 + (3/2)*v3, v2 est donc une combinaison linéaire des vecteurs v1, et v3, on peut alors le supprimer, pour ne conserver uniquement que v1, et v3.
Une base de Im A serait donc un plan, de la forme : Im A = {v1, v3} = {(2, -2, 10) ; (0,0,2)}.
Ce n'est pas évident, pour bien visualiser, imagine le plan R^2, formé par les vecteurs (1,0) et (0,1), si tu ajoutes dedans le vecteur (1,1) tu n'obtiens par R^3, car c'est la somme des 2 vecteurs. Donc tu peux le négliger.
Tu aurais pu aussi t'en sortir, en résolvant le système AX = Y, avec X = (x, y, z) et Y = (x', y', z') mais en pratique, on ne le fait pas.
3- P est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Plusieurs méthodes pour le déterminer. En développant par rapport à la 3e colonne, il ne reste qu'un déterminant de taille 2x2 à calculer, qui correspond aux 2 premiers coefficients des 2 premières colonnes. Ce déterminant vaut 1, qui est non nul, ce qui permet de conclure quant à l'inversibilité de P.
Fais très attention en utilisant cette méthode, à l'alternance des signes + et -.
Ensuite, pour déterminer l'inverse de P, chacun sa technique, la plus raisonnable est celle du pivot de Gauss, j'en utilise une plus risquée, à toi de voir laquelle tu préfères dans ton cours.
Soit com(P), la comatrice de P, formée par les 9 déterminants mineurs 2x2 de P. Notons c1, c2 et c3 les lignes de cette matrice, alors, après calculs :
c1 = (-1, 2,0) ; c2 = (2,-1,0) et c3 = (0,0,1).
Par la suite posons T(com(P)) = Transposée de la comatrice de P, cette matrice a l'avantage d'être symétrique, sa transposée est donc égale à elle-même. Alors, par définition :
P^(-1) = [1 / det(P)] * T(com(P)) = T(com(P)) = com(P).
L'inverse de P, c'est donc com(P).
4- Ici je te laisse faire le calcul de B = P^(-1)*A*P. Je te mets les coefficients en ligne que tu dois trouver, 1re ligne = c1, 2e ligne = c2, 3e ligne = c3. Tu auras : c1 = (0,0,0) ; c2 = (0,1,0) et c3 = (0,1,2).
5- B est une matrice diagonale, donc en l'élevant à un exposant n quelconque entier naturel, il suffit d'élever ses coefficients à ce même exposant.
6- Initialisation : Pour n = 1, on doit avoir A = P*B*P^(-1). Sachant que B = P^(-1)*A*P, en multipliant par P à gauche, et P^(-1) à droite ce qui est justifié par inversibilité de P, on déduit que P*B*P^(-1) = I*A*I = A (avec I, matrice identité de R^3). L'initialisation est donc vérifiée.
Hérédité : Supposons que pour un entier n >= 1 arbitraire fixé, on ait A^n = P*B^n *P^(-1), démontrons alors que A^(n+1) = P*B^(n+1) * P(-1).
Par hypothèse de récurrence, on a A^n = P*B^n *P^(-1), donc en multipliant par A à gauche, on obtient A^(n+1) = A*P*B^n *P^(-1).
Or, par définition, on l'a vérifié dans l'initialisation, A = P*B*P^(-1), donc A^(n+1) = (P*B*P^(-1))*P*B^n *P^(-1) = P*B*I*B^n *P^(-1) = P*B^(n+1)*P^(-1).
L'hérédité est donc validée, ce qui permet de conclure quant à la véracité de la formule.
7- Tu as toutes les matrices en main, je te laisse faire le calcul final.
