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Bonjour, est-ce-que vous pouvez m’ aider sur cet exercice (de DM) Svp :

 f est la fonction définie sur [0;+infini [ par : f(x) = x au carré + x.

 On se propose d’étudier les variations de f.

 1 .Conjecture

 a)Utiliser la calculatrice graphique pour conjecturer le sens de variation de f.

 b)Pourquoi l’observation de l’écran de la calculatrice ne suffit pas pour être certain du sens de la variation sur [0 ;+ infini[ ?

 2 .Preuve u et v désignent deux réels de [0;+infini [.

• Quel est le signe de chacun des réels u et v ?

• Vérifier que f(u)-f(v) = (u-v)(u+v+1).

 • Déduire de a), le signe de u+v+1.

• On suppose que u < ou égal à v. Que peut-on dire alors du signe de f(u)-f(v) ?

 • Conclure pour le sens de variation de f. Merci beaucoup !

Sagot :

u et v désignent deux réels de [0;+infini [.

• Quel est le signe de chacun des réels u et v ? positifs tous les 2

• Vérifier que f(u)-f(v) = (u-v)(u+v+1).

(u^2+u)-(v^2+v)=u^2-v^2+(u-v)=(u-v)(u+v)+(u-v) et (u-v) en facteur

 • Déduire de a), le signe de u+v+1. positif

• On suppose que u < ou égal à v. Que peut-on dire alors du signe de f(u)-f(v) ?

u-v est <=0 donc f(u)-f(v) lui aussi est <=0

 • Conclure pour le sens de variation de f.

si 0<u<v alors f(u)<f(v) : la fonction est croissante sur 0, +inf

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