Réponse:
1a)
g(x) est de la forme v×eᵘ + k
sa derivée est g'(x) = 1×e⁻²ˣ⁺⁶ -2×e⁻²ˣ⁺⁶×(x-2)
g'(x)= e⁻²ˣ⁺⁶(1-2x+4)
g'(x) =e⁻²ˣ⁺⁶(-2x+5)
1b)
une exponentielle étant toujours strictement positive, g'(x) est du signe de -2x+5
-2x+5 ≥0 <=> x≤5/2
x |-∞ 5/2 +∞
g'(x) | + 0 -
1c)
Sur ]-∞;5/2] f'(x) est positive donc g est croissante.
Sur ,[5/2; +∞[, f'(x) est négative donc g est décroissante.
x |-∞ 5/2 +∞
g | ↗ g(5/2) ↘
g(5/2)≈ 4,4
2)
g(0)≈ -803
la fonction g est continue et strictement croissante sur ]-∞;5/2]
g(0)×g(5/2) < 0
donc d'apres le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une unique solution sur [0;5/2]
A la calculatrice on a g(1,753)≈0
L'entreprise doit vendre au minimum 1,753 tonne pour réaliser un bénéfice.
2b)
D'apres le tableau de variation de g, la bénéfice maximal est de 4,4 millions d'euros pour 2,5 tonnes de metal vendu.
