Explications étape par étape:
Bonsoir, pour l'exercice 1 il n'y a aucune question, donc à quoi veux-tu répondre ?
Pour le 2e :
A) R est une relation d'équivalence si et seulement si elle vérifie les propriétés suivantes : Réflexivité, Symétrie, et Transitivité.
Soit x, x' et x'' dans E, alors :
xRx <==> f(x) = f(x), correct pour tout x dans E, donc réflexivité validée.
xRx' <==> f(x) = f(x') <==> f(x') = f(x) <==> x'Rx, donc validité de la symétrie.
xRx' et x'Rx'' <==> f(x) = f(x') et f(x') = f(x'') ==> f(x) = f(x'') <==> xRx'' donc validité de la transitivité.
B) Soit x et y dans E, par symétrie, la classe d'équivalence de x, c'est aussi la classe d'équivalence de y, donc y est un représentant de la classe x. Il faut donc chercher y, tel que x soit en relation avec y (ou xRy). Cette classe correspond à l'ensemble {y € E ; xRy} = {y € E ; f(x) = f(y)}. Finalement, la classe x de l'élément E qu'on notera C(x) vaut : C(x) = f^(-1)f(x), ce sont les y € E, qui par composition avec f, prennent la même valeur que f(x).
C) Supposons par l'absurde que l'application n'est pas injective. Alors a fortiori, elle n'est pas bijective. Or, l'existence de la classe d'équivalence est assurée par l'inversibilité de la fonction f, si elle n'admet pas de réciproque, alors pas de classe d'équivalence. Donc, obligatoirement, f est injective.
Remarque : Cet exercice est bizarre, car on ne dispose d'aucune information sur l'application f, à se demander si on ne t'a pas refilé un "faux" exo?
