Partie A :
1) On a EF = 6-x-x = 6-2x, donc U(x) = (6-2x)³= 6³-216x+72x²-8x³= 216-216x+72x²-8x³
2) Le volume du parallélépipède étant égal à 6³ = 216, le volume total du flacon est égal à V(x) = 216 = -8x³+72x²-144x+288.
Partie B :
1 a. f fonction polynôme est dérivable sur R et f'(x)= -3x²+18x-18
b. f'(x) =0 ↔ -3x² +18x-18 =0 ↔ -x²+6x-6=0 ↔ x²-6x+6x=0. On a Δ = 36-24=12=(2√3)². D'où les solutions :
6+2√3/2 = 3+√3 et 3-√3
Seule nous intéresse la solution positive : a= 3+√3 ≈ 4.73 = 4.7 arrondi au dixième.
c. Le trinôme est négatif sauf entre 3-√3 et 3+√3.
Donc sur [0;3-3√3], f'(x) < 0 et la fonction f est décroissante et sur [3-√3;3], f'(x) > 0 et la fonction f est croissante (cf. voir tableau de variations ci-joint)
d. La dérivée s'annule en changeant de signe en x=3-√3 : l'extremum (minimum) est donc égal à f(α) = f(3-√3) = -(3-√3)³+9(3-√3)²-18(3-√3)+36 = 27 + 27√3-27+3√3+81+27-54√3-54+18√3+36=36-6√3
2. On a M(x:y) ∈ T ↔ y-f(1) = f'(1)(x-1).
f(1) = -1³+9x1²-18x1+36=26, f(1) = -3x1²+18x1-18=-3
Donc M(x:y) ∈ T ↔ y-26= -3(x-1) ↔ y = -3x + 29
3 a. (cf. tableau)
Partie C :
1. 8f(x) = 8(-x³+9x²-18x+36)=-8x³+72x²-144x+288=V(x)
2. D'après la partie B, la fonction f a pour minimum f(3-√3) = 36-6√3, donc le minimum de la fonction V est égal à :
Vm = 8f(3-√3) = 8(36-6√3) = 288 - 48√3 ≈ 204.8≈ 204(cm³)
(cf.graphique)
