Explications étape par étape:
Bonjour, dans l'idéal il aurait fallu tes réponses aux questions précédentes, pour savoir si tu as déjà bon ou non. À partir de la question 6, on peut donc confirmer que un converge vers un réel L, qui nécessairement vaudrait 0. Donc rac(n) * un peut converger, ou bien diverger en + infini.
Je ne dispose pas de calculatrice graphique pour visualiser ou conjecturer, je te laisse le soin de vérifier.
8- Soit n >=1 et xn = un / n alors x(n+1) - xn = u(n+1) / (n+1) - un / n. Sachant que u(n+1) = (n+1) / n * sin(un) en réduisant au même dénominateur, il s'ensuit que u(n+1) / (n+1) = (1/n)*sin(un). En utilisant le développement asymptotique du sinus en 0, on a sin(un) ~ un - un^3 / 6. (car 3 ! = 6, c'est un développement limité usuel)
Ce qui équivaut à x(n+1) = u(n+1) / n+1 = (1/n) * (un - un^3 / 6) = (un / n) - (un^3 / 6n) = xn - (n^3 * xn^3 / 6n) = xn - (n^2 /6)*xn^3 car un = n*xn.
Finalement :
x(n+1) - xn ~ xn - (n^2 / 6) * xn^3 - xn = - (n^2 /6) *xn^3.
Par ailleurs, 1 / (x*(n+1)^2) = 1 / [ xn * (1 - (n^2 / 6)*xn^2)] ^2 = (1 / xn^2) * [1 / (1 - (n^2 / 6)*xn^2)^2]. Un développement limité permet d'affirmer que (1 - (n^2 / 6)*xn^2)^2 = 1 - 2*(n^2 / 6)*xn^2 = 1 - (n^2 / 3)*xn^2.
Par conséquent : 1 / (x*(n+1)^2) - 1 / (xn^2) = (1 / xn^2) * [1 / (1 - (n^2 / 3)*xn^2) - 1] = (1 / xn^2) * [(n^2 *xn^2 / 3) / (1 - (n^2 / 3)*xn^2)] = (n^2 / 3) * (1 / (1 - n^2 / 3)*xn^2).
Ce quotient tend vers n^2 / 3 en + infini car n^2 * xn^2 = un^2 tend vers 0 en + infini.
9- En effet, on sait que Somme des k^p pour k allant de 1 à n vaut, à l'infini, n^(p+1) / (p+1). (ça se démontre avec des intégrales). Donc (1/3)*S ~ (1/3) * n^3 / 3 = n^3 / 9.
Donc 1 / xn^2 ~ n^3 / 9 en + infini d'où xn^2 ~ 9 / (n^3) <==> un^2 / n^2 ~ 9 /(n^3). Finalement : un^2 ~ 9/n, et un ~ 3 / rac(n).
En conclusion : rac(n) * un ~ 3 en + infini. (ce qui paraît bizarre, il y a peut-être eu une erreur de calcul quelque part, à vérifier avec la conjecture)
