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Bonjour , je n'arrive pas à comprendre l'énoncé de mon devoir maison puis je ne comprend pas les question a , b , c et d . Je ne sais pas quel calcul faire ni comment démontrer .
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Voici l'énoncé : Un capital Co est emprunté à une banque à un taux mensuel fixe t . Ce capital est remboursé chaque mois (sur une durée de k mois) par une mensualité M constante qui se décompose en deux parts : les intérêts dus pendant le mois écoulé et la somme consacrée au remboursement du capital restant à rembourser.
n étant un entier naturel non nul , on note :
Cn le capital restant à rembourser après n mois;
In , les intérêts payés à la fin du nième mois :In = t fois Cn-1 (relation 1)
Rn la somme consacrée au remboursement
du capital à la fin du nième mois : Rn= Cn-1-Cn (relation 2)

1) Recherche d'une formule pour calculer M
a) La mensualité constante M vérifie M= In + Rn = In + 1 + Rn +1.
à l'aide de la relation 1 , en déduire que Rn+1 =Rn+ t fois (Cn-1-Cn)
b)à l'aide de la relation 2 , prouver que la suite (Rn) est géométrique de raison (1+t) et de premier terme R1.
c) à l'issue de k mois , le capital emprunté est entièrement remboursé .
La somme de tous les remboursements est donc égal au capital Co:
Co = R1+R2+...+Rk. Démontrer que Co = R1+R2+...+Rk= R1 fois 1-(1+t) puissance k divisé par 1-(1+t) = R1 fois (1+t) puissance k -1 divisé par t.
d) En remarquant que M = I1 +R1 ,
en déduire que la mensualiré M est égale à M = t fois Co fois(1+t) puissance k divisé par (1+t) puissance k -1.

Sagot :

laurance

Réponse :

Bonjour , je n'arrive pas à comprendre l'énoncé de mon devoir maison puis je ne comprend pas les question a , b , c et d . Je ne sais pas quel calcul faire ni comment démontrer .

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Voici l'énoncé : Un capital Co est emprunté à une banque à un taux mensuel fixe t . Ce capital est remboursé chaque mois (sur une durée de k mois) par une mensualité M constante qui se décompose en deux parts : les intérêts dus pendant le mois écoulé et la somme consacrée au remboursement du capital restant à rembourser.

n étant un entier naturel non nul , on note :

Cn le capital restant à rembourser après n mois;

In , les intérêts payés à la fin du nième mois :In = t fois Cn-1 (relation 1)

Rn la somme consacrée au remboursement

du capital à la fin du nième mois : Rn= Cn-1-Cn (relation 2)

1) Recherche d'une formule pour calculer M

a) La mensualité constante M vérifie M= In + Rn = In + 1 + Rn +1.

In = t fois Cn-1 (relation 1)   d'où

t  Cn-1  + Rn =t Cn  + Rn +1.  

DONC   Rn+1 =Rn+ t Cn-  1   -  tCn

Rn+1 =Rn+ t  (Cn-1-Cn)

b)Rn= Cn-1-Cn (relation 2)

donc    Rn+1   = Cn-1-Cn + t  (Cn-1-Cn)    = (1+t)(Cn-1-Cn)  =(1+t)Rn

ceci prouve que la suite (Rn) est géométrique de raison (1+t) et de premier terme R1.

c) à l'issue de k mois , le capital emprunté est entièrement remboursé .

La somme de tous les remboursements est donc égal au capital Co:

Co = R1+R2+...+Rk = R1+R1(1+t) +R1(1+t)²+...+R1(1+t)^(k-1) =

R1 (  1  +  (1+t) + (1+t)²+...+(1+t)^(k-1) ) = R1  ( 1  - (1+t)^k)   ) /  ( 1  -(1+t)   )

= R1  ( 1  - (1+t)^k)   ) /  ( -t  )    = R1  ( -1  + (1+t)^k)   ) /  t

Co = R1 ( (1+t) ^k -1) /  t.

d) Co = R1 ( (1+t) ^k -1) /  t.   donc   tCo = R1 ( (1+t) ^k -1)

R1 =  tCo / ( (1+t) ^k -1)

M = I1 +R1 = tCo + R1  =  tCo + tCo / ( (1+t) ^k -1)

= tCo  ( 1  +   1 / ( (1+t) ^k -1)  )  =   t  Co ( (1+t)^k  - 1 +1 ) / ( (1+t) ^ k -1)  

=  t  Co ( (1+t)^k   ) / ( (1+t) ^ k -1)  

Explications étape par étape

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