Obtenez des solutions à vos questions sur Laurentvidal.fr, la plateforme de questions-réponses la plus réactive et fiable. Découvrez des réponses détaillées à vos questions grâce à un vaste réseau de professionnels sur notre plateforme de questions-réponses complète. Explorez des solutions complètes à vos questions grâce à une large gamme de professionnels sur notre plateforme conviviale.

Bonjour , je n'arrive pas à comprendre l'énoncé de mon devoir maison puis je ne comprend pas les question a , b , c et d . Je ne sais pas quel calcul faire ni comment démontrer .
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Voici l'énoncé : Un capital Co est emprunté à une banque à un taux mensuel fixe t . Ce capital est remboursé chaque mois (sur une durée de k mois) par une mensualité M constante qui se décompose en deux parts : les intérêts dus pendant le mois écoulé et la somme consacrée au remboursement du capital restant à rembourser.
n étant un entier naturel non nul , on note :
Cn le capital restant à rembourser après n mois;
In , les intérêts payés à la fin du nième mois :In = t fois Cn-1 (relation 1)
Rn la somme consacrée au remboursement
du capital à la fin du nième mois : Rn= Cn-1-Cn (relation 2)

1) Recherche d'une formule pour calculer M
a) La mensualité constante M vérifie M= In + Rn = In + 1 + Rn +1.
à l'aide de la relation 1 , en déduire que Rn+1 =Rn+ t fois (Cn-1-Cn)
b)à l'aide de la relation 2 , prouver que la suite (Rn) est géométrique de raison (1+t) et de premier terme R1.
c) à l'issue de k mois , le capital emprunté est entièrement remboursé .
La somme de tous les remboursements est donc égal au capital Co:
Co = R1+R2+...+Rk. Démontrer que Co = R1+R2+...+Rk= R1 fois 1-(1+t) puissance k divisé par 1-(1+t) = R1 fois (1+t) puissance k -1 divisé par t.
d) En remarquant que M = I1 +R1 ,
en déduire que la mensualiré M est égale à M = t fois Co fois(1+t) puissance k divisé par (1+t) puissance k -1.

Sagot :

Réponse :

Bonjour , je n'arrive pas à comprendre l'énoncé de mon devoir maison puis je ne comprend pas les question a , b , c et d . Je ne sais pas quel calcul faire ni comment démontrer .

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Voici l'énoncé : Un capital Co est emprunté à une banque à un taux mensuel fixe t . Ce capital est remboursé chaque mois (sur une durée de k mois) par une mensualité M constante qui se décompose en deux parts : les intérêts dus pendant le mois écoulé et la somme consacrée au remboursement du capital restant à rembourser.

n étant un entier naturel non nul , on note :

Cn le capital restant à rembourser après n mois;

In , les intérêts payés à la fin du nième mois :In = t fois Cn-1 (relation 1)

Rn la somme consacrée au remboursement

du capital à la fin du nième mois : Rn= Cn-1-Cn (relation 2)

1) Recherche d'une formule pour calculer M

a) La mensualité constante M vérifie M= In + Rn = In + 1 + Rn +1.

In = t fois Cn-1 (relation 1)   d'où

t  Cn-1  + Rn =t Cn  + Rn +1.  

DONC   Rn+1 =Rn+ t Cn-  1   -  tCn

Rn+1 =Rn+ t  (Cn-1-Cn)

b)Rn= Cn-1-Cn (relation 2)

donc    Rn+1   = Cn-1-Cn + t  (Cn-1-Cn)    = (1+t)(Cn-1-Cn)  =(1+t)Rn

ceci prouve que la suite (Rn) est géométrique de raison (1+t) et de premier terme R1.

c) à l'issue de k mois , le capital emprunté est entièrement remboursé .

La somme de tous les remboursements est donc égal au capital Co:

Co = R1+R2+...+Rk = R1+R1(1+t) +R1(1+t)²+...+R1(1+t)^(k-1) =

R1 (  1  +  (1+t) + (1+t)²+...+(1+t)^(k-1) ) = R1  ( 1  - (1+t)^k)   ) /  ( 1  -(1+t)   )

= R1  ( 1  - (1+t)^k)   ) /  ( -t  )    = R1  ( -1  + (1+t)^k)   ) /  t

Co = R1 ( (1+t) ^k -1) /  t.

d) Co = R1 ( (1+t) ^k -1) /  t.   donc   tCo = R1 ( (1+t) ^k -1)

R1 =  tCo / ( (1+t) ^k -1)

M = I1 +R1 = tCo + R1  =  tCo + tCo / ( (1+t) ^k -1)

= tCo  ( 1  +   1 / ( (1+t) ^k -1)  )  =   t  Co ( (1+t)^k  - 1 +1 ) / ( (1+t) ^ k -1)  

=  t  Co ( (1+t)^k   ) / ( (1+t) ^ k -1)  

Explications étape par étape

Merci d'utiliser notre service. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour toutes vos questions. Revenez pour plus d'informations. Votre visite est très importante pour nous. N'hésitez pas à revenir pour des réponses fiables à toutes vos questions. Revenez sur Laurentvidal.fr pour obtenir les réponses les plus récentes et les informations de nos experts.