Réponse :
Explications étape par étape
1)g(x)=-20x+5x lnx +30 sur [1; 45]
Dérivée g'(x)=-20+5lnx +5x*(1/x)=-15+5lnx
g'(x)>ou=0 si 5lnx>=15
lnx>=3 soit x> ou=e³
Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x 1 e³ 45
g'(x)..........-.........................0...............+.....................
g(x)g(1).......décroi.......g(e³)...........croi..................g(45)
g(1)=10; g(e³)=-70 et g(45)=-14 (vérifie)
l'équation g(x) =0 admet une solution "alpha" sur l'intervalle [1;e³] ceci d'après le TVI
alpha=1,75 (environ) vérifie par encadrement
signes de g(x) >0 sur [1; alpha[ et <0 sur ]alpha; 45]
3)Pour montrer que G(x)=-11,25x²+2,5x²lnx +30x est une primitive de g(x) il suffit de dériver G(x) pour voir si on retrouve g(x)
G'(x)=-22,5x+5xlnx+2,5x²*(1/x)+30=-20x+5xlnx+30 et ceci =g(x)
4)L'intégrale de 10à 45 de g(x)dx=G(45)-G(10) ce n'est que du calcul avec ta calculette tu devrais trouver -1910 (environ)à vérifier
La valeur moyenne de G(x) sur cet intervalle est =-1910/(45-10)=-55 (environ)
Pour ton info c'est la température moyenne de la stratosphère
la partie B n'est qu'une application pratique de ta fonction g(x) et de sa primitive
1)1750m 2) -70°C à 20000m 3)-55°C