Réponse :
Bonjour
Ex5
Explications étape par étape
f(x)=(ax+b)e^x
1) f(0)=-1 donc (a*0+b)e^0=-1 soit b*(1)=-1 b=-1
2)f'(0)=1 car c'est le ceof.directeur de la tangente au point x=0
Dérivée f(x) est de la forme u*v sa dérivée est donc f'(x)=u'v+v'u avec
u=ax+b u'=a et v=e^x v'=e^x
f'(x)=a*e^x +(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x
f'(0)=1 ce qui donne (a-1)*(1)=1 donc a=2
on en déduit f(x)=(2x-1)e^x
3) Etude de f(x) sur R
limites si x tend vers -oo f(x) tend vers -oo*(0+)=0-
si x tend vers +oo f(x) tend vers +oo
dérivée f'(x)=2e^x+(e^x)(2x-1)= (2x-1)e^x
cette dérivée s'annule pour x=-1/2
tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo -1/2 +oo
f'(x)...................-........................0.................+.................
f(x)0-..........décroi...............f(-1/2)..........croi ............+oo
f(-1/2)=(-1-1)e^(-1/2)= -2/rac e = - 1,2(environ)