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Sagot :
Réponse : Bonjour,
1) Par définition, une équation du cercle de centre B et de rayon [BC] est:
[tex](x-0)^{2}+(y-6)^{2}=BC^{2}[/tex]
Il nous faut calculer BC²:
[tex]BC^{2}=\left(\frac{5}{3}-0\right)^{2}+(3-6)^{2}=\frac{25}{9}+9=\frac{25+81}{9}=\frac{106}{9}[/tex].
Donc l'équation du cercle de centre B et de rayon [BC] est:
[tex]x^{2}+(y-6)^{2}=\frac{106}{9}[/tex]
2) Le cercle passant par A et de centre C, a pour rayon [CA], et donc de centre C.
Donc l'équation de ce cercle est:
[tex]\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}+(y-3)^{2}=CA^{2}[/tex]
Il nous faut calculer CA²:
[tex]CA^{2}=\left(2-\frac{5}{3}\right)^{2}+(-1-3)^{2}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+(-4)^{2}=\frac{1}{9}+16=\frac{1+144}{9}=\frac{145}{9}[/tex].
Donc l'équation du cercle passant par A et de centre C est:
[tex]\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}+(y-3)^{2}=\frac{145}{9}[/tex]
3) Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu de [AB], on l'appelle I, et de rayon [IB] ou [IA].
On calcule d'abord les coordonnées I du milieu de [AB], on appelle [tex]x_{I}[/tex], son abscisse et [tex]y_{I}[/tex], son ordonnée:
[tex]x_{I}=\frac{2+0}{2}=1\\ y_{I}=\frac{-1+6}{2}=\frac{5}{2}[/tex]
Donc [tex]I\left(1;\frac{5}{2}\right)[/tex].
Il nous faut calculer le carré d'un rayon du cercle, donc par exemple IB²:
[tex]IB^{2}=(0-1)^{2}+\left(6-\frac{5}{2}\right)^{2}=1+\left(\frac{12-5}{2}\right)^{2}=1+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=1+\frac{49}{4}=\frac{4+49}{4}=\frac{53}{4}[/tex]
Donc une équation du cercle de diamètre [AB] est:
[tex](x-1)^{2}+(y-\frac{5}{2})^{2}=\frac{53}{4}[/tex]
Le point C appartient à ce cercle si et seulement si IC²=[tex]\frac{53}{4}[/tex].
Calculons donc IC²:
[tex]IC^{2}=(\frac{5}{3}-1)^{2}+(3-\frac{5}{2})^{2}=(\frac{5-3}{3})^{2}+(\frac{6-5}{2})^{2}=(\frac{2}{3})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}=\frac{4}{9}+\frac{1}{4}=\frac{16+9}{36}=\frac{25}{36}[/tex]
Donc [tex]IC^{2} \ne \frac{53}{4}[/tex], donc C n'appartient pas au cercle de diamètre [AB].
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