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Sagot :
Réponse : Bonjour,
La fonction carré est décroissante sur ]-∞;0], et croissante sur [0;+∞[.
Il faut donc distinguer deux cas.
i) Variations de h sur ]-∞;0].
On prend deux réels a, b appartenant à l'intervalle ]-∞;0], tels que [tex]a \leq b[/tex].
Comme la fonction carrée est décroissante sur ]-∞;0], alors:
[tex]a \leq b \Leftrightarrow a^{2} \geq b^{2}[/tex]
Puis:
[tex]a^{2} \geq b^{2}\\-2a^{2} \leq -2b^{2} \quad multiplication \; par \; un \; reel \; negatif\\-2a^{2}+7 \leq -2b^{2}+7\\h(a) \leq h(b)[/tex]
On a donc pris [tex]a, b \in ]-\infty;0][/tex], tels que [tex]a \leq b[/tex], et on a trouvé [tex]h(a) \leq h(b)[/tex], on en déduit que la fonction h est croissante sur ]-∞;0].
ii) Variations de h sur l'intervalle [0;+∞[.
Comme précédemment, on prend deux réels a, b appartenant à l'intervalle [0;+∞[, tels que [tex]a \leq b[/tex].
Comme la fonction carrée est croissante sur [0;+∞[, alors:
[tex]a \leq b \Leftrightarrow a^{2} \leq b^{2}[/tex].
Puis:
[tex]a^{2} \leq b^{2}\\-2a^{2} \geq -2b^{2} \quad multiplication \; par \; un \; reel \; negatif\\-2a^{2}+7 \geq -2b^{2}+7\\h(a) \geq h(b)[/tex]
On a pris a, b appartenant à l'intervalle [0;+∞[, tels que [tex]a \leq b[/tex], et on a trouvé que [tex]h(a) \geq h(b)[/tex].
On en déduit que h est décroissante sur l'intervalle [0;+∞[.
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