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Bonjour a tous j'ai un petit soucis en vers un DM de maths si quelqu'un
Exercice n°1 :
On lance simultanément deux dés sur une table. L'un est cubique ; ses faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'autre est tétraédrique ; ses faces sont numérotées 1, 2, 3, 4. Les deux dés sont homogènes (c'est-à-dire que pour chacun des deux dés, les faces ont la même probabilité d'apparition). On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque lancer associe la valeur absolue de la différence des nombres figurant sur les deux faces en contact avec la table. 1. Quelles sont les valeurs prises par X ? 2. Déterminer la loi de probabilité de X. 3. Calculer l'espérance mathématique et la variance de X.

Exercice n°2 :
On considère une urne contenant trois boules jaunes, deux boules bleus, une boule rouge, quatre boules vertes. Ces boules sont indiscernables au toucher. On tire, au hasard, une boule de l'urne.

1.Calculer la probabilité des évènement suivant :
J = "tirer une boule jaune"
V = "tirer une boule verte"
B = "tirer une boule bleu"
R = "tirer une boule rouge"

2. En fonction de la couleur tirée, on se voit attribuer une somme d'argent celons la convention suivante:
- rouge, on gagne 10 euros
- vert, on gagne 2 euros
-jaune ou bleu, on gagne 3 euros
soit x la variable aléatoire qui associe, a chaque tirage le gain réalisé
a) déduire de la question1) : P(x=2). P(x=3) et P(x=10)
b) Calculer l'espérance mathématique de x, sa variance puis sont écart-type ( on arrondira l'écart-type a 10 puissance -2)

3.Maintenant on gagne toujours 10 euros si la boule rouge est tombé, 2 euros si elle verte , 3 euros si elle est jaune et M euros si elle est bleu, M désignant un réel positif.
calculer M pour que le gain moyen espérer soit de 4.5 euros .

Sagot :

Réponse :

Bonjour/ bonsoir, pour déterminer l'ensemble des valeurs prises par X, il convient derépondre à quelques questions liées à l'expérience aléatoire qui nous est soumise dans cet exercice.

Premièrement, les différents résultats possibles de cette expérience qui vont constituer notre univers [tex]\Omega[/tex]. Ensuite, déterminer les valeurs de X et sa loi de probabilité.

Explications étape par étape

Bien, [tex]\Omega[/tex] est typiquement constitué des couples de numéros possibles pour chaque lancer, soit:

(1,1)  -  (1,2)  -  (1,3)  -  (1,4)  

(2,1)  - (2,2)  - (2,3)  - (2,4)

(3,1)  - (3,2)  - (3,3)  - (3,4)

(4,1)  - (4,2)  - (4,3)  - (4,4)

(5,1)  - (5,2)  - (5,3)  - (5,4)

(6,1)  - (6,2)  - (6,3)  - (6,4)

Ainsi, notre univers compte 24 éléments. On constate que la variable aléatoire X : "La valeur absolue de la différence des deux nombres" pourra avoir les valeurs

X        |       0        |       1        |       2        |       3        |       4        |       5        |

2. Déterminer la loi de probabilité de X

Pour déterminer cette loi, il suffit de calculer la probabilité associée à chaque valeur de X ci dessus.

P(x=0)   --> Littéralement: Combien de couples résultats là haut nous donneraient une différence de 0

Réponse: Tous les couples qui sont formés du même chiffre; donc 4 en tout.

Alors, on obtient : [tex]P(X=0) = \frac{4}{24}[/tex]. On procède ainsi pour toutes les autres valeurs pour obtenir ceci au final:

X            |       0        |       1        |       2        |       3        |       4        |       5        |

P(x=X)    |    4/24     |    7/24      |    5/24      |    5/24    |    2/24     |    1/24      |

Remarque:

  • Il est tout à fait possible de calculer ces fractions et d'utiliser des nombres décimaux.
  • Pour vérifier s'il s'agit bien d'une loi de probabilité, on effectue juste la somme des P(x=X), si l'on obtient 1 comme résultat alors c'est tout bon.

3. Calculer l'espérance et la variance

La formule de l'espérance mathématique d'une telle variable aléatoire est :

[tex]E[X] = \Sigma x_i P_i \\= 0*\frac{4}{24} +1*\frac{7}{24}+2*\frac{5}{24}+3*\frac{5}{24}*4*\frac{2}{24}*1*\frac{1}{24} = \frac{45}{24} \\\\= 1.87[/tex]

Quant à la variance, sa formule est la suivante:

[tex]V[X] = E[X^{2} ] - (E[X])^{2}[/tex] Dis nous en commentaire quel résultat tu trouves.

Pour le deuxième exercice reposte, nous nous ferons une joie de t'aider.

Pour aller plus loin sur les probabiltés..https://nosdevoirs.fr/devoir/2644006

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