Réponse :
Bonjour
1a.
I(1; 0) et M(cos(x); sin(x))
[tex]IM = \sqrt{(cos(x)-1)^{2}+(sin(x))^{2}}\\IM = \sqrt{cos(x)^{2} -2cos(x)+1+sin(x)^{2}}\\IM =\sqrt{1-2cos(x)+1}\\ IM = \sqrt{2-2cos(x)}[/tex]
2.
Dans le triangle rectangle OMH on a
sin(MÔH) = MH / MO et MO = 1
sin(MÔH) = MH
Or (OH) est la bissectrice de MÔH donc MÔH = x/2
donc
sin(x/2) = MH
3.
H est le milieu de [IM]
MH = IM/2
[tex]sin(\frac{x}{2} )=\frac{\sqrt{2-2cos(x)} } {2} = \sqrt{\frac{2-2cos(x)}{4} } =\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2} }[/tex]
4.
cos²(x/2)+sin²(x/2) = 1
cos²(x/2) = 1 - sin²(x/2)
Pour x ∈ [0; π] on a x/2 ∈ [0; π/2] donc cos(x/2) ≥ 0
ainsi
[tex]cos(\frac{x}{2} ) = \sqrt{1-sin^{2}(x)} \\cos(\frac{x}{2} ) = \sqrt{1-\frac{1-cos(x)}{2} } \\cos(\frac{x}{2} ) = \sqrt{\frac{2-1+cos(x)}{2} } \\cos(\frac{x}{2} ) = \sqrt{\frac{1+cos(x)}{2} } \\[/tex]
Partie B.
sur [0; π] on a x/2 ∈ [0; π/2] donc sin(x/2) et cos(x/2) sont positifs
sur [π; 2π] on a x/2 ∈ [π/2; π] donc sin(x/2) est positif et cos(x/2) est négatif
[tex]cos(\frac{x}{2} ) = -\sqrt{\frac{1+cos(x)}{2} } \\[/tex]
sur [2π; 3π] on a x/2 ∈ [π; 3π/2] donc sin(x/2) est negatif et cos(x/2) est négatif
sur [3π; 4π] on a x/2 ∈ [3π/2; 2π] donc sin(x/2) est négatif et cos(x/2) est positif
De maniere generale on regarde dans le cercle trigonométrique le signe de sin(x/2) et cos(x/2) et on prend la formule ou son opposé.
partie C
[tex]cos(\frac{\pi }{8} ) = \sqrt{\frac{1+cos(\frac{\pi }{4} )}{2} }\\cos(\frac{\pi }{8} ) =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2} }{2} }{2} }\\\\cos(\frac{\pi }{8} ) =\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\\\\sin(\frac{\pi }{8} ) = \sqrt{\frac{1-cos(\frac{\pi }{4} )}{2} }\\sin(\frac{\pi }{8} ) =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2} }{2} }{2} }\\\\sin(\frac{\pi }{8} ) =\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}[/tex]
[tex]cos(\frac{7\pi }{8}) =-cos(\frac{\pi }{8} )=-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2} \\sin(\frac{7\pi }{8}) = sin(\frac{\pi }{8} )=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} \\\\\\cos(\frac{9\pi }{8}) =-cos(\frac{\pi }{8} )=-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2} \\sin(\frac{9\pi }{8}) =- sin(\frac{\pi }{8} )=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} \\\\[/tex]
[tex]\\\\cos(\frac{5\pi }{8}) =cos(\frac{\pi }{2}+ \frac{\pi }{8} )=-sin(\frac{\pi}{8})=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} \\sin(\frac{5\pi }{8}) = sin(\frac{\pi }{2}+ \frac{\pi }{8} )=cos(\frac{\pi }{8}) =\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2} \\\\\\[/tex]
[tex]\\\\cos(\frac{3\pi }{8}) =cos(\frac{\pi }{2}- \frac{\pi }{8} )=sin(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2} \\sin(\frac{3\pi }{8}) = sin(\frac{\pi }{2}- \frac{\pi }{8} )=cos(\frac{\pi }{8}) =\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2} \\\\\\[/tex]