Réponse : Bonjour,
On démontre d'abord que si deux droites d et d' de coefficients directeurs m et m', sont parallèles alors m=m'.
Soit [tex]\overrightarrow{u}(a;b)[/tex], un vecteur directeur de d, et [tex]\overrightarrow{v}(c;d)[/tex], un vecteur directeur de d'.
Comme d et d' sont parallèles, alors les vecteurs [tex]\overrightarrow{u}[/tex], et [tex]\overrightarrow{v}[/tex], sont colinéaires, alors il existe [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex], tel que [tex]\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}[/tex].
On a donc [tex]a=\lambda c[/tex], et [tex]b=\lambda d[/tex].
On rappelle que [tex]\displaystyle m=\frac{b}{a}[/tex] et [tex]\displaystyle m'=\frac{d}{c}[/tex], d'après ce qui précède:
[tex]\displaystyle m=\frac{b}{a}=\frac{\lambda d}{\lambda c}=\frac{d}{c}=m'[/tex].
On a donc montré que si d et d' sont parallèles, alors m=m'.
Démontrons maintenant que si d et d', ont des coefficients directeurs égaux, alors d et d' sont parallèles.
Soit [tex]\overrightarrow{u}(a;b)[/tex], un vecteur directeur de d, et [tex]\overrightarrow{v}(c;d)[/tex], un vecteur directeur de d'.
On a alors :
[tex]\displaystyle m=m'\\\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\\ bc=ad[/tex]
[tex]bc=ad[/tex], donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{u}[/tex] et [tex]\overrightarrow{v}[/tex], sont colinéaires, donc les droites d et d' sont parallèles.
On a donc montré que deux droites de coefficients directeurs m et m' sont parallèles si et seulement si m=m'.
