Réponse : Bonsoir,
Soit [tex]x[/tex] la longueur du rectangle et [tex]y[/tex], la largeur du rectangle.
Alors comme l'aire du rectangle est égale à 1m², on a [tex]xy=1[/tex].
D'où [tex]\displaystyle y=\frac{1}{x}[/tex], donc, en introduisant la fonction f, donnant le périmètre en fonction de x, on a:
[tex]\displaystyle f(x)=2(x+y)=2\left(x+\frac{1}{x}\right)=2\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)[/tex]
Il faut donc étudier les variations de f.
On calcule sa dérivée f':
[tex]\displaystyle f'(x)=2\left(\frac{2x(x)-1(x^{2}+1)}{x^{2}}\right)=2\left(\frac{2x^{2}-x^{2}-1}{x^{2}}\right)=2\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\right)=\frac{2(x-1)(x+1)}{x^{2}}[/tex]Comme le dénominateur [tex]x^{2} > 0[/tex], pour tout [tex]x > 0[/tex], alors f'(x) est du signe de (x-1)(x+1), pour [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex].
On a le tableau suivant:
x 0 1 +∞
x-1 - Ф +
x+1 + +
f'(x) - Ф +
f(x) (décroissant) (croissant)
Au vu du tableau précédent, la fonction f admet un minimum en x=1.
Donc le périmètre du rectangle est minimal pour une longueur égale à x=1.
On avait vu que la largeur du rectangle y, est égal à [tex]\displaystyle y=\frac{1}{x}[/tex], donc le périmètre est minimal pour une largeur y égale à :
[tex]\displaystyle y=\frac{1}{1}=1[/tex]
Donc les dimensions du rectangle de périmètre minimal sont la longueur égale à 1, et la largeur égale à 1.
