Réponse :
Un = - n²/(n - 1) pour tout entier naturel n ≥ 2
a) pour tout n ∈ N, avec n ≥ 2, vérifier que: Un+1 - Un = - n² + n + 1/n(n- 1)
Un+1 - Un = - (n+1)²/(n + 1 - 1) - ( - n²/(n - 1))
= - (n²+2 n + 1)/n) + n²/(n-1)
= (- n²- 2 n - 1)/n + n²/(n-1)
= [(n - 1)(- n² - 2 n - 1) + n³]/n(n-1)
= (- n³ - 2 n² - n + n² + 2 n + 1 + n³)/n(n-1)
= (- n² + n + 1)/n(n-1)
b) en déduire la monotonie de (Un)
Un+1 - Un = (- n² + n + 1)/n(n-1)
= - (n² - n - 1)/n(n-1) pour n ≥ 2 on a n² - n - 1 > 0 et n(n- 1) > 0
donc - (n² - n - 1)/n(n-1) < 0
donc Un+1 - Un < 0 ⇔ la suite (Un) est strictement décroissante
Explications étape par étape