Olympea12345
Answered

Trouvez des réponses facilement sur Laurentvidal.fr, la plateforme de Q&R de confiance. Obtenez des réponses détaillées et précises à vos questions grâce à une communauté d'experts dévoués sur notre plateforme de questions-réponses. Connectez-vous avec des professionnels prêts à fournir des réponses précises à vos questions sur notre plateforme complète de questions-réponses.

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice de Mathématiques sur les équations différentielles. Je vous écrit le sujet ci-dessous :
Suite à un incident nucléaire, on relève à l'instant y (en heures) le nombre N(t) de particules radioactives captées par un appareil en une seconde.
On suppose que N est solution de l'équation différentielle (E) : y' = a(y-2) où a est une constante positive
1. On suppose que a = 1
a) résoudre (E)
b) déterminer la solution N de (E) qui vérifie N(0) = 170.
2. Pour tout réel a positif, déterminer la solution N de (E) qui vérifie N(6) = 9

Merci de votre aide
Bonne après-midi !
Olympea :)

Sagot :

Réponse: Bonjour,

1)a) Si a=1, alors l'équation (E) devient [tex]y'=y-2[/tex], alors la solution [tex]N(t)[/tex] de (E), avec C une constante réelle, est donnée par:

[tex]\displaystyle N(t)=Ce^{t}-\frac{-2}{1}=Ce^{t}+2[/tex]

b) La solution [tex]N(t)[/tex] de (E) qui vérifie [tex]N(0)=170[/tex] est telle que la constante C vaut:

[tex]Ce^{0}+2=170\\C+2=170\\C=168[/tex]

Donc la solution [tex]N(t)[/tex] de (E), qui vérifie [tex]N(0)=170[/tex] est:

[tex]N(t)=168e^{t}+2[/tex].

2) Ici on a [tex]a > 0[/tex], donc l'équation (E) est [tex]y'=ay-2a[/tex], alors les solutions de (E) sont, avec C une constante réelle:

[tex]\displaystyle N(t)=Ce^{at}-\frac{-2a}{a}=Ce^{at}+2[/tex]

Et la solution [tex]N(t)[/tex] de (E) qui vérifie [tex]N(6)=9[/tex] est telle que la constante vaut:

[tex]\displaystyle Ce^{6a}+2=9\\Ce^{6a}=7\\C=\frac{7}{e^{6a}}=7e^{-6a}[/tex]

Alors la solution [tex]N(t)[/tex], qui vérifie [tex]N(6)=9[/tex] est:

[tex]\displaystyle N(t)=7e^{-6a}e^{at}+2=7e^{a(t-6)}+2[/tex].

Nous apprécions votre visite. Notre plateforme est toujours là pour offrir des réponses précises et fiables. Revenez quand vous voulez. Merci de votre visite. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour tous vos besoins en information. À bientôt. Laurentvidal.fr est toujours là pour fournir des réponses précises. Revenez nous voir pour les informations les plus récentes.