Olympea12345
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Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice de Mathématiques sur les équations différentielles. Je vous écrit le sujet ci-dessous :
Suite à un incident nucléaire, on relève à l'instant y (en heures) le nombre N(t) de particules radioactives captées par un appareil en une seconde.
On suppose que N est solution de l'équation différentielle (E) : y' = a(y-2) où a est une constante positive
1. On suppose que a = 1
a) résoudre (E)
b) déterminer la solution N de (E) qui vérifie N(0) = 170.
2. Pour tout réel a positif, déterminer la solution N de (E) qui vérifie N(6) = 9

Merci de votre aide
Bonne après-midi !
Olympea :)

Sagot :

Réponse: Bonjour,

1)a) Si a=1, alors l'équation (E) devient [tex]y'=y-2[/tex], alors la solution [tex]N(t)[/tex] de (E), avec C une constante réelle, est donnée par:

[tex]\displaystyle N(t)=Ce^{t}-\frac{-2}{1}=Ce^{t}+2[/tex]

b) La solution [tex]N(t)[/tex] de (E) qui vérifie [tex]N(0)=170[/tex] est telle que la constante C vaut:

[tex]Ce^{0}+2=170\\C+2=170\\C=168[/tex]

Donc la solution [tex]N(t)[/tex] de (E), qui vérifie [tex]N(0)=170[/tex] est:

[tex]N(t)=168e^{t}+2[/tex].

2) Ici on a [tex]a > 0[/tex], donc l'équation (E) est [tex]y'=ay-2a[/tex], alors les solutions de (E) sont, avec C une constante réelle:

[tex]\displaystyle N(t)=Ce^{at}-\frac{-2a}{a}=Ce^{at}+2[/tex]

Et la solution [tex]N(t)[/tex] de (E) qui vérifie [tex]N(6)=9[/tex] est telle que la constante vaut:

[tex]\displaystyle Ce^{6a}+2=9\\Ce^{6a}=7\\C=\frac{7}{e^{6a}}=7e^{-6a}[/tex]

Alors la solution [tex]N(t)[/tex], qui vérifie [tex]N(6)=9[/tex] est:

[tex]\displaystyle N(t)=7e^{-6a}e^{at}+2=7e^{a(t-6)}+2[/tex].

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