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Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plait :

1) Montrer que pour tout nombre réel x différent de 0 et 1,
1/x + 3/x-1 = 4x - 1/ x(x-1).

2) En déduire la résolution de 1/x + 3/x-1 ≥ 0

Sagot :

Sdu61

Bonjour !

1) x est différent de 0 donc on peut mettre les fractions /x, et x est différent de 1 donc on peut mettre les fractions /(x-1).

[tex]\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} = \frac{x-1}{x(x-1)} + \frac{3x}{x(x-1)} = \frac{x-1+3x}{x(x-1)} = \frac{4x-1}{x(x-1)}[/tex]

2)

[tex]\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} \geq 0 \\\\<=> \frac{4x-1}{x(x-1)} \geq 0\\\\[/tex]

<=> 4x-1 ≥ 0 et x(x-1) ≥ 0     OU   4x-1 ≤ 0 et x(x-1) ≤ 0

<=> x ≥ 1/4 et x(x-1) ≥ 0       OU   x ≤ 1/4 et x(x-1) ≤ 0

Dans la première option, si x ≥ 1/4, alors x > 0, donc

x(x-1)≥0 <=> (x-1) ≥ 0/x = 0 <=> x ≥ 1. (donc x > 1 car x≠1)

Dans la deuxième option,

x ≤ 1/4 donc x-1 < 0 donc

x(x-1) ≤ 0 <=> x ≥ 0/(x-1) = 0 (donc x>0 car x≠0)

donc 0 < x ≤ 1/4.

Donc [tex]\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} \geq 0[/tex] pour [tex]x \in ]0,\frac{1}{4}] \cup ]1,+\infty[[/tex].

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