Explications étape par étape:
Bonjour,
1- On sait que x est dérivable sur R, en revanche, rac (x) = Racine de x n'est dérivable que pour x > 0 (ça se démontre) . En effet, la dérivée de x vaut 1, et celle de rac(x) est usuelle, et vaut 1 / (2*rac(x)).
Par produit, on en déduit que f est dérivable pour tout x > 0, avec f'(x) = u'v + uv' (avec u = x et v = rac(x)) = Rac(x) + [x / (2*rac(x))] = 2*rac(x) car x / rac(x) = rac(x).
Là, en remplaçant x par 0, on aurait f'(0) = 0, ce qui est étonnant, car d'après le cours, on a vu que f était dérivable pour x > 0. Il n'y a pas d'incohérence, on verra dans la suite pourquoi.
2- a. Le taux d'accroissement de la fonction f, en un point d'abscisse a donné, correspond au nombre dérivée en ce point. On va l'appeler, comme l'énoncé, t(h). On va essayer de se rapprocher le plus près possible de 0, sans jamais l'atteindre. Pour cela, ce sont des formules de ton cours, on aura t(h) = [ f(h) - f(0)] / (h - 0) = [ h*rac(h) - 0] / h = rac(h).
b- Ce taux d'accroissement en 0, c'est le nombre dérivé en 0, en faisant tendre h vers 0, t(h) tend vers 0 par continuité de la fonction racine carrée, donc f est bien dérivable en 0, et sa dérivée vaut 0.
3a- La réciproque ici, ce sera : Si la fonction produit uv est dérivable en a, alors les fonctions u et v sont dérivables en a.
b- Cette réciproque est clairement fausse. On vient de le prouver, la fonction f est bien dérivable en 0, pourtant, rac(x) n'est pas dérivable en 0. Le cours permet donc simplement de dire : Si u et v sont dérivables en a, alors uv l'est aussi. Mais la réciproque est erronée.
