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Bonjour, j'ai du mal à répondre à cet exercice, j'y réfléchi depuis hier et je ne trouves pas les réponses. Pourriez vous m'aidez ? Je vous remercie d'avance !

Exercice 2:
Pour fabriquer industriellement une peinture, il est nécessaire d'incorporer toutes les heures un
liant
Au début du procédé, à n = 0, il y a 5 litres de liant dans la cuve de peinture. Chaque heure, la
peinture perd la moitié du liant. A l'issue de cette heure, on ajoute 5 litres de liant au mélange présent
dans la cuve :
1) Calculer la quantité de liant dans le mélange au bout de 3h (après avoir ajouté les 5 derniers litres).
2) On admet qu'au bout de n heures (après avoir ajouté les 5 derniers litres), la quantité en litres de
liant présente dans le mélange est donnée par la formule :
Sn = 5* (1/2)^n + ... +5(1/2)^n + 5x1/2 +5.
Montrer que, pour tout entier naturel n: Sn = 10 -5*1/2^n
3) Déterminer la limite de la suite (Sn), en justifiant. Interpréter le résultat pour la situation étudiée.
4) Déterminer après combien d'heures la quantité de liant dépassera 9,9 litres.​

Sagot :

Réponse : Bonjour,

A n=0 heure, il y a 5 litres de liant dans la cuve de peinture.

A n=1 heure, il y a [tex]\frac{5}{2}+5=\frac{5+10}{2}=\frac{15}{2}=7,5[/tex], donc 7,5 litres de liant, dans la cuve de peinture.

A n=2 heures, [tex]\frac{15}{2} \times \frac{1}{2}+5=\frac{15}{4}+\frac{20}{4}=\frac{35}{4}=8,75[/tex], donc 8,75 litres de liant, dans la cuve de peinture.

A n=3 heures, [tex]\frac{35}{4} \times \frac{1}{2}+5=\frac{35}{8}+\frac{40}{8}=\frac{75}{8}=9,375[/tex], donc 9,375 litres de liant, dans la cuve de peinture.

2) On a:

[tex]\displaystyle S_{n}=5\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+...+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}+1\right)=5 \times \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=10\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)\\=10-10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=10-5 \times 2 \times \frac{1}{2^{n+1}}=10-5 \times \frac{1}{2^{n}}=10-5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}[/tex]

4) Il faut déterminer le plus petit entier naturel n, tel que [tex]S_{n} > 9,9[/tex]:

[tex]\displaystyle 10-5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} > 9,9\\-5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} > -0,1\\ 5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} < 0,1\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{n} < \frac{0,1}{5}\\ e^{n \ln(\frac{1}{2})} < 0,02\\\ln(e^{n \ln(\frac{1}{2})}) < \ln(0,02)\\ n \ln\left(\frac{1}{2}\right) < \ln(0,02)\\ -n \ln(2) < \ln(0,02)\\n > \frac{\ln(0,02)}{-\ln(2)} \approx 5,6[/tex]

Donc à partir de 6 heures, la quantité de liant dépassera 9,9 litres.

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