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PRESENTATION :

Roméo, comme chacun sait, est un grand romantique. Il a rendez-vous avec Juliette par une belle journée d’été ensoleillée. Il part pour son rendez-vous du point D pour rejoindre Juliette qui l’attend avec impatience au point C. Il souhaite en chemin faire un beau bouquet de roses en les cueillant sur l’allée aux roses du segment [AB]. Le trajet de Roméo est représenté en pointillés sur la figure.

 

PROBLEMATIQUE :Où se situe le point M pour que son trajet lui permettant de rejoindre Juliette soit le plus court possible ?

 

Remarque : Si vous avez téléchargé le logiciel gratuit de géométrie dynamique Géogébra, vous pourrez facilement faire la figure correspondant au problème posé et établir une conjecture concernant la position du point M !

 

 

PRESENTATION Roméo Comme Chacun Sait Est Un Grand Romantique Il A Rendezvous Avec Juliette Par Une Belle Journée Dété Ensoleillée Il Part Pour Son Rendezvous Du class=

Sagot :

on pose AM=x

alors DM²=DA²+AM²

                  =4²+x²

                  =x²+16

 

de même MC²=MB²+BC²

                          =(8-x)²+6²

                          =x²-16x+100

 

le trajet DM+MC est minimal si

d=√(x²+16)+√(x²-16x+100) est minimal

 

on pose f(x)=√(x²+16)+√(x²-16x+100)

f'(x)=x/√(x²+16)+(x-8)/√(x²-16x+100)

 

f'(x)=0 donne x=16/5=3,2

 

donc le trajet est minimal si AM=3,2 m

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