Réponse : Bonjour,
[tex]\displaystyle I=\int_{\sqrt{e}}^{e} (2x \ln(x)-x) \; dx -\int_{\sqrt{e}}^{e} (2x-2\sqrt{e}) \; dx=\int_{\sqrt{e}}^{e} 2x \ln(x)-x-2x+2\sqrt{e} \; dx\\I= \int_{\sqrt{e}}^{e} 2x \ln(x)-3x+2\sqrt{e} \; dx=\int_{\sqrt{e}}^{e} 2x \ln(x) -\int_{\sqrt{e}}^{e} 3x \; dx+\int_{\sqrt{e}}^{e} 2\sqrt{e} \; dx[/tex]
Calculons [tex]\displaystyle \int_{\sqrt{e}}^{e} 2x \ln(x) \; dx[/tex], par une intégration par parties:
[tex]\displaystyle \int_{\sqrt{e}}^{e} 2x \ln(x) \; dx=\left[x^{2} \ln(x) \right]_{\sqrt{e}}^{e}-\int_{\sqrt{e}}^{e} x^{2} \times \frac{1}{x} \; dx=e^{2} \ln(e)-e\ln(\sqrt{e})-\int_{\sqrt{e}}^{e} x \; dx\\=e^{2}-e\ln(e^{\frac{1}{2}})-\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{\sqrt{e}}^{e}=e^{2}-e \times \frac{1}{2}-\frac{e^{2}}{2}+\frac{e}{2}=\frac{2e^{2}-e^{2}}{2} =\frac{e^{2}}{2}[/tex]
Calculons ensuite [tex]\displaystyle -\int_{\sqrt{e}}^{e} 3x \; dx+\int_{\sqrt{e}}^{e} 2\sqrt{e} \; dx[/tex]:
[tex]\displaystyle -\int_{\sqrt{e}}^{e} 3x \; dx+\int_{\sqrt{e}}^{e} 2\sqrt{e} \; dx=-3 \int_{\sqrt{e}}^{e} x \; dx+2\sqrt{e} \int_{\sqrt{e}}^{e} 1 \; dx=-3 \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{\sqrt{e}}^{e}+2\sqrt{e}[x]_{\sqrt{e}}^{e}=-3\left(\frac{e^{2}}{2}-\frac{e}{2}\right)+2\sqrt{e}(e-\sqrt{e})=-\frac{3}{2}e^{2}+\frac{3}{2}e+2e\sqrt{e}-2e\\=-\frac{3}{2}e^{2}+\frac{3e-4e}{2}+2e\sqrt{e}=-\frac{3}{2}e^{2}-\frac{e}{2}+2e\sqrt{e}[/tex]
En regroupant, on trouve:
[tex]\displaystyle I=\frac{e^{2}}{2}-\frac{3}{2}e^{2}-\frac{e}{2}+2e\sqrt{e}=\frac{-2e^{2}}{2}-\frac{e}{2}+2e\sqrt{e}=-e^{2}-\frac{1}{2}e+2e\sqrt{e}[/tex]