salehabbo52
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bonsoir est ce que vous pouvez me aider STP et merci

Les fonctions et sont définies sur IR par f(x)=x^3−2x^2+4 et g(x)=x+2

1) Tracer les courbes représentatives des deux fonctions ?

2) Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)≥g(x). (Faire apparaitre sur le graphique la méthode utilisée et donner l’ensemble de solutions) ?

3) Montrer que l’inéquation f(x)≥g(x) est équivalente à l’inéquation (x−2)(x^2−1)≥0 ?

4) Après avoir factoriser l’expression précédente, résoudre l’inéquation. ?

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = x³ - 2x² + 4 ; g(x) = x + 2

■ dérivée f ' (x) = 3x² - 4x = x (3x - 4)

   cette dérivée est nulle pour x = 0 ou x = 4/3

■ 1°) tableau :

    x --> -∞          -1           0         +1           4/3           +2            +∞

varia ->       croissante     |    décroiss.       |      croissante

 f(x) --> -∞         +1          +4        +3           2,8           +4            +∞  

 g(x) -->             +1                      +3                           +4  

f(x)≥g(x) ->  non  |         OUI         |           non             |      OUI    

■ 2°) f(x) ≥ g(x) donne x ∈ [ -1 ; +1 ] U [ +2 ; +∞ [ .

■ 3°) f(x) ≥ g(x) devient x³ - 2x² + 4 - x - 2 ≥ 0

                                         x³ - 2x² - x + 2 ≥ 0

                                        (x-1) (x-2) (x+1) ≥ 0    

                                         (x - 2) (x² - 1) ≥ 0

■ 4°) tableau de signes :

             x -->                   -1                    +1               +2

           x+1 ->        -          0         +                   +               +

            x-1 ->         -                    -          0        +               +

           x-2 ->        -                     -                     -       0      +

 (x-2)(x²-1)≥0     non        |      OUI          |      non     |     OUI

 on retrouve bien : x ∈ [ -1 ; +1 ] U [ +2 ; +∞ [

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