cindirela26
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Bonjour,
Je suis actuellement à la FAC en Informatique et je n'arrive pas à résoudre cette équation si quelqu'un peut m'éclairer cela serait sympa !

Sn = Σ de 0 à n : k(k − 1).
Montrer par récurrence, que pour tout entier n, on a Sn = (n−1)n(n+1)/3

Sagot :

ecto220

Réponse :

Bonjour

Soit P(n) la propriété : S(n) = (n-1)n(n+1)

Initialisation :

Pour n = 1 on a 1(1 - 1) = 0

et (1-1)×1×(1+1)/3 = 0

P(1) est vraie

Hérédité :

∑ de 0 à n+1 = ∑ de 0 à n + n(n+1)

Soit un certain n tel que :

∑ de 0 à n+1 = (n-1)n(n+1)/3 + n(n+1) (H.R)

                      = [(n-1)n(n+1) + 3n(n+1)]/3

                      = n(n+1)(n-1 + 3)/3

                      = n(n+1)(n+2)/3

La propriété P(n) est vraie au rang n+1.Elle est donc héréditaire

Conclusion :

La propriété P(n) est vraie au rang 1 et elle est héréditaire

Elle est donc vraie pour tout n

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