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hey, notre prof de math nous a demandé de faire un DM et dans ce DM il y a une relation par récurrence que je n'arrive pas à faire en plus c'est la dernière question de l'exo et j'y arrive pas en plus on doit le rendre aujourd'hui, pouvez vous m'aider s'il vous plaît !

Hey Notre Prof De Math Nous A Demandé De Faire Un DM Et Dans Ce DM Il Y A Une Relation Par Récurrence Que Je Narrive Pas À Faire En Plus Cest La Dernière Questi class=

Sagot :

Réponse : Bonjour,

Comme vous l'avez dit, on procède par récurrence.

Initialisation: Pour n=1:

[tex]\displaystyle p_{1}=\left(\frac{1}{5}\right)^{1-1} \times \frac{3}{8}+\frac{5}{8}=\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=1[/tex]

Comme par hypothèse [tex]p_{1}=1[/tex], alors c'est vérifié à l'ordre n=1.

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^{*}, p_{n}=\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \times \frac{3}{8}+\frac{5}{8}[/tex], et montrons là à l'ordre n+1.

On part de la relation de récurrence:

[tex]\displaystyle p_{n+1}=0,5+0,2 p_{n}=0,5+ \frac{1}{5}\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \times \frac{3}{8}+\frac{5}{8}\right)=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{5}\right)^{n} \times \frac{3}{8}+\frac{1}{5} \times \frac{5}{8}\\=\frac{1}{2} +\left(\frac{1}{5}\right)^{n} \times \frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4+1}{8}+\left(\frac{1}{5}\right)^{n} \times \frac{3}{8}=\left(\frac{1}{5}\right)^{n} \times \frac{3}{8}+\frac{5}{8}[/tex]

La relation est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^{*}, p_{n}=\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \times \frac{3}{8}+\frac{5}{8}[/tex].

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