Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
Nous considérons la courbe représentative de la fonction [tex]f(x) = ax^2+bx+c[/tex]
Nous savons que
(1) Cette courbe passe par les points A (0:1) et B(4:3).
(2) Les tangentes en A et B se coupent en C(2;-4).
1) et 2)
la tangente en A est y - yA = f'(xA) ( x - xA)
où xA = 0 et yA = 1
donc l'équation donne
y - 1 = f'(0) x
donc y = f'(0) x + 1
Or nous savons que cette droite passe par le point C(2;-4)
donc
-4 = f'(0) * 2 + 1
donc 2f'(0) = -4-1 d'où
[tex]f'(0) = -\frac{5}{2}[/tex]
et l 'équation est
[tex]y = -\frac{5}{2} x + 1[/tex]
la tangente en B est y - yB = f'(xB) ( x - xB)
où xB = 4 et yB = 3
donc l'équation donne
y - 3 = f'(4) ( x - 4 )
donc y = f'(4) ( x - 4 ) + 3
Or nous savons que cette droite passe par le point C(2;-4)
donc
-4 = f'(4) ( 2 - 4 ) + 3
donc -2f'(4) = -4-3 d'où
[tex]f'(4) = \frac{7}{2}[/tex]
et l 'équation est
[tex]y = \frac{7}{2} ( x - 4 ) + 3[/tex]
3)
f est dérivable pour tout réel x et f'(x)=2ax+b
4)
[tex]f'(0) = -\frac{5}{2}[/tex] donc [tex]f'(0) = b = -\frac{5}{2}[/tex]
[tex]f'(4) = \frac{7}{2}[/tex] donc [tex]f'(4) = 8a+b = \frac{7}{2}[/tex]
donc [tex]8a = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6[/tex]
[tex]a = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}[/tex]
A est sur la courbe donc [tex]a(0)^2+b*0+c = -1[/tex] donc c = -1
5) Donc
[tex]f(x) = \frac{3}{4} x^2 -\frac{5}{2} x - 1[/tex]
[tex]f'(x) = \frac{3}{2} x -\frac{5}{2}[/tex]
6)
d'où [tex]f'(0) = -\frac{5}{2}[/tex] et
[tex]f'(4) = \frac{3}{2} 4 -\frac{5}{2} = 6 -\frac{5}{2} = \frac{12}{2} -\frac{5}{2} = \frac{12-5}{2} = \frac{7}{2}[/tex]
