Réponse :
1.
Exprimons les coordonnées des 3 vecteurs avec le point M(x; y)
[tex]\overrightarrow{MA}(-2-x; -y)\\\overrightarrow{MB}(-x; 4-y)\\\overrightarrow{MC}(5-x; 2-y)\\[/tex]
L'egalite vectorielle [tex]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}[/tex]se traduit au niveau des coordonnées des vecteurs par
[tex]\left\{\begin{array}{r c l}x_\overrightarrow{MA}$+x_\overrightarrow{MB}$+4x_\overrightarrow{MC}$=0\\y_\overrightarrow{MA}$+y_\overrightarrow{MB}$+4y_\overrightarrow{MC}$=0\\\end{array}[/tex]
<=>
[tex]\left\{\begin{array}{r c l}-2-x-x+4(5-x)=0\\-y+4-y+4(2-y)=0\\\end{array}[/tex]
<=>
[tex]\left\{\begin{array}{r c l}-6x+18=0\\-6y+12=0\\\end{array}[/tex]
<=>
[tex]\left\{\begin{array}{r c l}x=3\\y=2\\\end{array}[/tex]
Donc M(3; 2)
2.
[tex]x_{B'} =\frac{x_{A}+x_{C} }{2} \\x_{B'} =\frac{-2+5 }{2} \\x_{B'} =\frac{3 }{2}[/tex]
[tex]y_{B'} =\frac{y_{A}+y_{C} }{2} \\y_{B'} =\frac{0+2 }{2} \\y_{B'} =1[/tex]
d'où B'(3/2; 1)
[tex]x_{C'} =\frac{x_{A}+x_{B} }{2} \\x_{C'} =\frac{-2+0 }{2} \\x_{C'} =-1[/tex]
[tex]y_{C'} =\frac{y_{A}+y_{B} }{2} \\y_{C'} =\frac{0+4}{2} \\y_{C'} =2[/tex]
d'où C'(-1; 2)
3a. Montrons que [tex]\overrightarrow{MC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{CC'}[/tex] sont colinéaires
[tex]\overrightarrow{MC} (5-3 ; 2-2)\\\overrightarrow{MC} (2; 0)\\\overrightarrow{CC'} (-1-5 ; 2-2)\\\overrightarrow{CC'} (-6; 0)\\[/tex]
On remarque que [tex]\overrightarrow{CC'} =-3\overrightarrow{MC}[/tex] donc les vecteurs sont colinéaires, les points M, C et C' sont alignés et M appartient à la médiane [CC'] du triangle ABC.
3b.
[tex]\overrightarrow{OM} (3-0; 2-0)\\\overrightarrow{OM}(3;2)\\\overrightarrow{OB'}(3/2-0; 1-0)\\\overrightarrow{OB'}(3/2; 1)\\[/tex]
On remarque que [tex]\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OB'}[/tex]
Les vecteurs sont colinéaires donc les points O, M et B' sont alignés.
3c.
[tex]\overrightarrow{AJ}(0+2; 1-0)\\\overrightarrow{AJ}(2;1)\\\\\overrightarrow{MJ}(0-3; 1-2)\\\\\overrightarrow{MJ}(-3;-1)\\[/tex]
Les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points ne sont pas alignés.
On peut calculer le déterminants :
det([tex]\overrightarrow{AJ};\overrightarrow{MJ}[/tex]) = -1×2-1×(-3) = 1
Le déterminant n'est pas nul : les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points A , M et J ne sont pas alignés.
4. ABCN est un trapèze <=> [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AN}[/tex] sont colinéaires <=> det([tex]\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AN}[/tex]) = 0
N est un point de l'axe des ordonnées : son abscisse est nulle
N(0; y)
[tex]\overrightarrow{BC}(5;-2)\\\\\overrightarrow{AN}(0+2;y-0 )\\\overrightarrow{AN}(2;y)\\[/tex]
[tex]det(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AN}) =5\times y - 2 \tiles (-2) =0[/tex]
5y+4=0
5y=-4
y=-0,8
N(0;-0,8)
