Réponse :
Bonsoir
1) voir croquis
2) u(-2 ; 1) est un vecteur directeur de (d), donc une équation de (d) est :
x + 2y + c = 0
C(7 ; 3) ∈ (d) ,donc :
7 + 2×3 + c = 0 ⇔ 13 + c = 0 ⇔ c = -13
⇔ (d) : x + 2y - 13 = 0
3) Un vecteur directeur de (AB) est le vecteur AB(1 ; 2)
Une équation de (AB) est : 2x - y + c = 0
A(2 ; 3) ∈ (AB) donc 2×2 - 3 + c = 0 ⇔ 1 +c = 0 ⇔ c = -1
⇔ (AB) : 2x - y - 1 = 0
4) a) u scalaire AB = -2×1 + 1×2 = -2 + 2 = 0
les vecteurs u et AB sont donc orthogonaux
Les droites (d) et AB sont donc parallèles
b) calculons les coordonnées du point d'intersection
On a : x + 2y - 13 = 0 ⇔ x = -2y + 13 ⇔ x = -2y +13
2x - y - 1 = 0 2(-2y + 13) - y - 1 =0 -4y + 26 - y - 1 = 0
⇔ x = -2y + 13 ⇔ x = -2y + 13 ⇔ x = -2×5 + 13 ⇔ x = 3
-5y = -25 y = 5 y = 5 y = 5
Or B(3 ; 5) .Le point d'intersection de (d) et (AB) est donc B
5) a) (AB) : 2x - y - 1 = 0
Le point d'abscisse 1 a pour ordonnée :
2×1 - y - 1 = 0 ⇔ -y = -1 ⇔ y = 1
Donc F(1 ; 1)
b) I((7+1)/2 ; (3+1)/2) ⇔ I(4 ; 2)
c) FC(6 ; 2) et IB(-1 ; 3)
FC scalaire IB = 6×(-1) + 2×3 = -6 + 6 = 0
Les vecteurs FC et IB sont donc orthogonaux
d) I est milieu de [FC], et (IB) est perpendiculaire à (FC) . (IB) est donc une médiane du triangle CBF
6) (d) et (AB) sont perpendiculaires et sécantes en B
Donc le triangle BCF est rectangle en B
De plus ,longueur BC = √(7-3)² + (3-5)² = √20 = 2√5
et longueur BF = √(1-3)² + (1-5)² = √20 = 2√5
Donc BF = BC
Le triangle BCF est donc rectangle isocèle en B
