Bonjour,
Défi numéro 1 : À part 2, tout les nombres premiers sont impairs. Supposons que 30n + 7 soit la somme de deux nombres premiers différents de 2. Il s'agira forcément de nombres impairs or la somme de deux nombres impairs est un nombre pair (on a 2k + 1 + 2k + 1 = 4k + 2 = 2(2k + 1)) 30 est pair donc 30n + 7 donnera un nombre impair ∀n
Supposons maintenant que pour n supérieur ou égal à 1, qu'il existe un nombre premier "p" tel que 30n + 7 = p + 2 alors on à p = 30n + 7 - 2 = 30n -5 = 5(6n - 1) donc pas premier non plus donc ∀n n'importe quel nombre entier n supérieur ou égal à 1 , 30n + 7 n'est jamais la somme de deux nombres premiers.
Défi numéro 2 : 3 est un nombre premier et 3 est premier avec p (pour p supérieur ou égal à 5) d'après le théorème de Fermat on à p^(3 - 1) ≡ 1 [3] donc p^2 - 1 est divisible par 3.
p est supérieur ou égal à 5 donc p est impair, ∃ k ∈ N tel que p = 2k + 1 donc p^2 - 1 = 4k(k + 1) or k(k + 1) est un nombre pair puisqu'il s'agit de deux entiers consécutifs, on peut donc écrire k(k + 1) = 2a on à donc p^2 - 1 = 4k × (2a) = 8ka = 8(k + a) donc p^2 - 1 est divisible par 8
il suffit ensuite d'appliquer le théorème de Gauss, pour rappel si a divise b et b divise c avec a et b premier entre eux alors ab|c . Or 3 et 8 sont premier entre eux et divisent tous les deux p^2 - 1 donc 24 divise p^2 - 1
