Réponse :
Bonjour
1a)
[tex]\overrightarrow{AB}(-2-1; -6+2; 5-4)\\\overrightarrow{AB}(-3; -4; 1)[/tex]
et
[tex]\overrightarrow{AC}(-4-1; 0+2; -3-4)\\\overrightarrow{AC}(-5; 2; -7)[/tex]
Les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés.
1b.
[tex]\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=[/tex]-3×1+(-4)×(-1)+1×(-1) = 0
[tex]\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=[/tex] -5×1+2×(-1)+(-7)×(-1) = 0
Le vecteur [tex]\overrightarrow{n}[/tex] est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) donc [tex]\overrightarrow{n}[/tex] est normal au plan π.
1c.
Une equation de π est
1x-1y-1z+d = 0
Et A appartient au plan. Ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne du plan.
1+2-4+d = 0
d = 1
Une équation cartésienne du plan π est : x - y - z + 1 = 0
2a.
La droite passant par O(0;0;0) et orthogonale à π est dirigée par [tex]\vec {n}[/tex]. Elle a pour équation paramétrique :
[tex]\left\{\begin{array}{r c l}\\x=t\\y=-t\\z=-t\\\end{array }\\\right\\[/tex]
avec t, un réel.
O' est le point d'intersection de la droite avec le plan π.
On resout :
[tex]\left\{\begin{array}{r c l p}x-y-z+1=0\\x=t\\y=-t\\z=-t\end{array }\\\right\\[/tex]
t+t+t+1=0
3t+1=0
t=-1/3
ainsi les coordonnées de O' sont O'(-1/3; 1/3; 1/3)
3a.
[tex]\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}=t\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC}=t.\overrightarrow{BC}^{2} =t.BC^{2}[/tex]
d'où
[tex]t = \frac{\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{BC}}{BC^{2} }[/tex]
3b
[tex]\overrightarrow{BO}(0+2; 0+6; 0-5)\\\overrightarrow{BO}(2; 6; -5)[/tex]
[tex]\overrightarrow{BC}(-4+2; 0+6; -3-5)\\\overrightarrow{BC}(-2; 6; -8)\\[/tex]
[tex]t=\frac{2\times(-2)+6\times 6+(-5)\times(-8)}{(-2)^2+6^2+(-8)^2}[/tex]
[tex]t=\frac{9}{13}[/tex]
xH = 9/13×(-2)+xB
xH= -18/13 - 2
xH = -44/13
yH = 9/13×6 -6
yH = -24/13
zH = 9/13×(-8) +5
zH = -7/13
H(-44/13; -24/13; -7/13)
Explications étape par étape
