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besoin d'aide svp en maths/geometrie. Merci bcp !!

"On considère le repère (O; i (vecteur); j(vec) ) orthonormé. Dans ce repère, on considère les points A (-3 ; -2), B (2 ; -1), C (3 ; 4) et D (-2 ; 3).

1) montrer que le point C est l'image du point D par la translation de vecteur AB(vec). En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

2) faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure des questions.

3) Le point J est le milieu du segment [AD]. determiner ses coordonées.

4)Le point K est tel que JK(vecteur) = 1/3 JC(vecteur).
Exprimer DB(vecteur) et DK(vecteur) en fonction de DJ(vecteur) et DC(vecteur).
Que peut-on déduire ? Expliquer.

5) montrer que le point K a pour coordonnée ( -2/3 ; 5/3)

6) le point E est le centre du quadrilatère ABDC. Calculer le déterminant des vecteurs DK(vecteur) et DE(vecteur).
Que peut on en déduire ? expliquez.

7) calculer les distances AB et AD. Que peut on en déduire pour le quadrilatère ABDC ?

8) calculer les distances AC et ED. En déduire pour l'aire du quadrilatère ABCD.

Sagot :

Svant

Réponse :

Bonjour

1)

[tex]\overrightarrow{AB}(2+3; -1+2)\\\overrightarrow{AB}(5; 1)\\\\\overrightarrow{DC}(3+2; 4-3)\\\\\overrightarrow{DC}(5; 1)\\\\[/tex]

[tex]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}[/tex]

Donc C est l'image de D par la translation de vecteur [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]

ABCD est un parallélogramme

2)

voir photo

3)

xJ = (xA+xD)/2             yJ = (yA+yD)/2

xJ = (-3-2)/2                 y(J) = (-2+3)/2

xJ = -5/2                      yJ = 1/2

J(-5/2; 1/2)

4)

[tex]\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{DC}\\\\\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{JK}\\\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DJ}+\frac{1}{3} \overrightarrow{JC}\\\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DJ}+\frac{1}{3} (\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DC})\\\overrightarrow{DK} = \frac{2}{3} \overrightarrow{DJ}+\frac{1}{3} \overrightarrow{DC}[/tex]

On remarque que [tex]\overrightarrow{DB} = 3\overrightarrow{DK}[/tex]

Les vecteurs [tex]\overrightarrow{DK}[/tex]et [tex]\overrightarrow{DB}[/tex] sont colinéaires donc les points D, B et K sont alignés.

5)

[tex]\overrightarrow{JC} (3+5/2; 4-1/2)\\\overrightarrow{JC} (11/2; 7/2)\\\\\overrightarrow{JK} = \frac{1}{3} \overrightarrow{JC} \\\overrightarrow{JK} (11/6; 7/6)[/tex]

xK-xJ = 11/6                yK-yJ = 7/6

xK = 11/6 - 5/2            yK = 7/6 + 1/2

xK = -2/3                    yk = 5/3

K(-2/3;  5/3)

6)

xE = (xB+xD)/2      yE = (yB+yD)/2

xE = (2-2)/2           yE= (-1+3)/2

xE = 0                    yE = 1

E(0; 1)

[tex]\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DB}[/tex]

Calculons les coordonnées des 2 vecteurs :

[tex]\overrightarrow{DB}(2+2; -1-3)\\ \overrightarrow{DB}(4; -4)\\\\\\[/tex]

[tex]\\\overrightarrow{DE}(2; -2)\\[/tex]

et

[tex]\overrightarrow{DK}(-2/3+2; 5/3-3)\\\\\overrightarrow{DK}(-4/3; 4/3)\\[/tex]

det([tex]\overrightarrow{DK};\overrightarrow{DE}[/tex]) = 2×4/3 - (-2)×(-4/3) = 0

Le déterminant est nul donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{DK}[/tex] et [tex]\overrightarrow{DE}[/tex] sont colinéaires et les points D, K et E sont alignés.

7)

[tex]AB=\sqrt{5^{2}+1^{2} } =\sqrt{26}[/tex]

[tex]AD=\sqrt{(-2+3)^{2} +(3+2)^{2} } =\sqrt{26}[/tex]

AB = AD

de plus [tex]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}[/tex] d'après la question 1.

Le quadrilatère ABCD est donc un losange.

8)

[tex]AC=\sqrt{(3+3)^{2}+(4+2)^{2} } =\sqrt{72} =6\sqrt{2} \\ED = \sqrt{(-2-0)^{2}+(3-1)^{2} } =\sqrt{8} =2\sqrt{2} \\[/tex]

Aire du losange = (AC×DB)/2

Aire du losange = AC×ED

Aire du losange = 6√2×2√2

Aire du losange = 12×2

Aire du losange = 24

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