Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
La suite [tex](u_n)[/tex] est définie par son premier terms [tex]u_0[/tex] = 2 et
par une relation de récurrence qui permet de connaitre [tex]u_{n+1}[/tex] à partir de [tex]u_n[/tex]
[tex]u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n+3*(0.5)^n[/tex]
1)
a)
Nous allons commencer par calculer ses premiers termes
[tex]u_0[/tex] = 2
[tex]u_1 = \frac{1}{5}u_0+3*(0.5)^0[/tex]
[tex]u_1 = \frac{1}{5} 2 + 3[/tex] mettons sur le même dénominateur
[tex]u_1 = \frac{2+3*5}{5}[/tex]
[tex]u_1 = \frac{17}{5}[/tex]
Et on continue pour [tex]u_2[/tex], [tex]u_3[/tex] etc
En utilisant la calculatrice cela donne
0 2
1 3.4
2 2.18
3 1.186
4 0.6122
5 0.30994
6 0.155738
7 0.0780226
8 0.03904202
b)
Nous pouvons remarquer que les termes de [tex]u_n[/tex] deviennent de plus en plus petits
Il semblerait que la suit est convergente vers 0
2)
a)
Comme il est écrit que ce résultat est admis on va l'utiliser tel quel
pour info, Imaginons une route avec des arbres tout le long de la route
si je te demande
1- de peindre le premier arbre en blanc
2- si jamais un arbre est blanc alors le suivant doit être blanc
Quelle sera la couleur des tous les arbres de cette route?
C'est le principe du raisonnement par récurrence que tu verras en Terminale
Nous pouvons de ce fait remarquer que
pour n = 1 a [tex]u_1[/tex] = 3.4 >= 15/4 = 3.75 donc c'est vrai pour n = 1
et si [tex]u_n >= \frac{15}{4}(0.5)^n[/tex] (ce qui revient a supposer que c'est vrai au rang n)
[tex]u_n+1 = \frac{1}{5}u_n+3*(0.5)^n >= \frac{15}{4*5}(0.5)^n+3*(0.5)^n[/tex]
Or
[tex]\frac{3}{4}(0.5)^n+3*(0.5)^n = \frac{3+3*4}{4}(0.5)^n[/tex]
[tex]= \frac{15}{4}(0.5)^n[/tex]
or 0.5 < 1 donc [tex](0.5)^n > (0.5)^{n+1}[/tex]
d'ou [tex]u_{n+1} >= \frac{15}{4}(0.5)^{n+1}[/tex] (cela reste vraie au rang n+1 )
b)
[tex]u_{n+1}-u_n = \frac{1}{5}u_n + 3(0.5)^n - u_n[/tex]
[tex]= \frac{1-5}{5}u_n + 3(0.5)^n[/tex]
[tex]= -\frac{4}{5}u_n + 3(0.5)^n[/tex]
or [tex]u_n >= \frac{15}{4}(0.5)^n[/tex]
donc
[tex]u_n+1-u_n <= -\frac{4}{5}\frac{15}{4}(0.5)^n + 3(0.5)^n[/tex]
or
[tex]-\frac{4}{5}\frac{15}{4}(0.5)^n + 3(0.5)^n[/tex]
[tex]= -3(0.5)^n + 3(0.5)^n = 0[/tex]
Donc la suite (u_n) est décroissante
et comme on peut facilement prouver par récurrence que tous ces termes sont positifs
donc la suite (u_n) est convergente (ce que tu verras en Terminale)
3)
a)
[tex]v_n = u_n-10(0.5)^n[/tex]
[tex]v_0 = u_0 -10 (0.5)^0= 2 -10 = -8[/tex]
[tex]v_{n+1} = u_{n+1} -10(0.5)^{n+1}[/tex]
[tex]= \frac{1}{5}u_n + 3(0.5)^n -10(0.5)(0.5)^n[/tex]
[tex]= \frac{1}{5} ( u_n + (15 - 5*5) (0.5)^n )[/tex]
[tex]= \frac{1}{5} ( u_n + (15 - 25) (0.5)^n )[/tex]
[tex]= \frac{1}{5} ( u_n + (- 10) (0.5)^n )[/tex]
[tex]= \frac{1}{5} ( u_n - 10(0.5)^n )[/tex]
[tex]= \frac{1}{5} ( v_n )[/tex]
comme le rapport [tex]\frac{v_n+1}{v_n}[/tex]est constant il s'agit d'une suite géométrique
de raison [tex]\frac{1}{5}[/tex]
b)
Appliquons les résultats du cours
[tex]v_n = v_0 (\frac{1}{5})^n = -8(\frac{1}{5})^n[/tex]
De ce fait [tex]u_n = v_n + 10(0.5)^n = -8(\frac{1}{5})^n + 10(0.5)^n[/tex]
d)
la limite de [tex](u_n)[/tex] est donc 0 quand n tend vers l infini
4)
Je ne vois pas les lignes (1) (2) (3)
reposes la suite de la question si besoin
