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Bonjour pouvez-vous m'aider j'au un DM a faire mais je ne comprend rien .
La boîte en métal
Afin de conserver des friandises pour les commercialiser, on souhaite construire des boîtes en métal de forme cylindrique de contenance 1 L.
Pour cela, on étudie le patron de cette boîte, composée d'un rectangle et de deux disques ( l'un pour le fond, l'autre pour le couvercle).
On note r le rayon de la boite et h sa hauteur.
Quels sont le rayon r et la hauteur h de cette boîte permettant d'utiliser une quantité de métal minimale? On donnera les résultats sous forme de valeurs approchées à 10^-2 prés.
Expliquer le raisonnement.
Merci d'avance.

Bonjour Pouvezvous Maider Jau Un DM A Faire Mais Je Ne Comprend Rien La Boîte En Métal Afin De Conserver Des Friandises Pour Les Commercialiser On Souhaite Cons class=

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Il nous faut l'aire totale de cette boîte.

On va d'abord exprimer h en fonction de "r".

Volume de cette boîte=pi*r²*h=1 dm³ (avec "r" en dm)

Donc : h=1/pi*r² ( h en dm)

Longueur de la partie rectangulaire du patron=périmètre du cercle=2*pi*r

Aire de la partie rectangulaire=2*pi*r*h=2pi*r*/(pi*r²)

On simplifie par "r" et "pi".

Aire rectangle=2/r

Aire des deux cercles=2*pi*r²

Aire totale=A(r)=2*pi*r²+2/r

On va chercher le minimum de la fct A(r).

A '(r)=4pi*r-2/r²

A '(r)=(4pi*r³-2) / r²

A '(r) est du signe de : 4pi*r³-2=2(2pi*r³-1)

donc du signe de : 2pi*r³-1.

La fct cube f(x)=ax³ avec a > 0 est croissante.

2*pi*r³-1=0 donne :

r³=1/(2*pi)

r³ ≈ 0.159155

r ≈ ∛0.159155

r ≈ 0.5419

Donc A '(x) < 0 sur [0;0.5419] puis > 0 ensuite.

x--------->0........................0.5419.....................+inf

A '(x)---->..............-.............0................+.................

A (x)------>............D.............?.................C................

D=flèche qui descend.

C=flèche qui monte.

L'aire est minimale pour r≈ 0.5419 dm soit r≈ 5.42 cm

et h=1/(pi*0.55419)²≈ 1.0840 dm soit h ≈ 10.84 cm.

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