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je suis en prepa mpsi on suppose que f est continue sur [0,+infini[ et possede une limite l en +infinie motrer que la restraction de f sur [0,+infini[ est bornée et uniformement continue sur [0,+infini[

Sagot :

Choisissons un epsilon de valeur arbitraire.

Puisque f a une limite l en plus l'infini, il existe donc une valeur Y telle que pour x>Y, on a:  

l-epsilon < f(x) < l+epsilon

 

f est donc bornée sur [Y; +infini[

 

Comme f est continue sur [0;Y], qui est un intervalle fermé, elle est donc bornée sur cet intervalle.

 

Le raisonnement est un peu similaire pour la continuité uniforme.

 

 

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