Réponse : Bonjour,
1) La valeur totale des lots est:
[tex]300+2 \times 130+5 \times 25+10 \times 15+20 \times 5+50 \times 2+100 \times 1=\\ 300+160+125+150+100+100+100=1035[/tex]
Sachant que le billet est vendu 2 euros, en notant x le nombre de billets, il faut que [tex]2x > 1035[/tex], donc:
[tex]\displaystyle 2x > 1035\\x > \frac{1035}{2}=517,5[/tex]
Il faudra donc vendre 518 billets, pour réaliser un bénéfice au profit de l'association.
2)a) X est la variable aléatoire qui donne le gain du participant, donc ce gain peut valoir:
i) Le participant peut gagner un téléviseur d'une valeur de 300 euros, et la probabilité qu'il gagne ce téléviseur est [tex]\frac{1}{1300}[/tex].
ii) Le participant peut gagner un appareil photo numérique, d'une valeur de 130 euros, avec une probabilité égale à [tex]\frac{2}{1300}=\frac{1}{650}[/tex].
iii) Le participant peut gagner une enceinte Bluetooth, d'une valeur de 25 euros, avec une probabilité égale à [tex]\frac{5}{1300}=\frac{1}{260}[/tex].
iv) Le participant peut gagner une montre d'une valeur de 15 euros, avec une probabilité égale à [tex]\frac{10}{1300}=\frac{1}{130}[/tex].
v) Le participant peut gagner une gourde d'une valeur de 5 euros, avec une probabilité égale à [tex]\frac{20}{1300}=\frac{1}{65}[/tex].
vi) Le participant peut gagner un porte-monnaie d'une valeur de 2 euros, avec une probabilité égale à [tex]\frac{50}{1300}=\frac{1}{26}[/tex].
vii) Le participant peut gagner un porte-clés, d'une valeur de 1 euro, avec une probabilité égale à [tex]\frac{100}{1300}=\frac{1}{13}[/tex].
viii) Enfin, la probabilité qu'il ne gagne rien est:
[tex]\displaystyle 1-\frac{1}{1300}-\frac{2}{1300}-\frac{5}{1300}-\frac{10}{1300}-\frac{20}{1300}-\frac{50}{1300}-\frac{100}{1300}\\=\frac{1300-1-2-5-10-20-50-100}{1300}=\frac{1112}{1300}=\frac{278}{325}[/tex]
Pour établir la loi de probabilité de X, il faut retrancher 2 euros, correspondant au prix du billet.
Donc la loi de probabilité de X est:
X | -2 | -1 | 0 | 3 | 13 | 23 | 128 | 298
P(X)| [tex]\frac{278}{325}[/tex] [tex]\frac{1}{13}[/tex] [tex]\frac{1}{26}[/tex] [tex]\frac{1}{65}[/tex] [tex]\frac{1}{130}[/tex] [tex]\frac{1}{260}[/tex] [tex]\frac{1}{650}[/tex] [tex]\frac{1}{1300}[/tex]