Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour
On cherche à trouver 2 nombres dont la somme est 20 et le produit 96.
A) une première solution :
On note x et y les deux nombres cherchés, x étant supérieur ou égal à y :
1) traduire algébriquement le problème :
x + y = 20
xy = 96
2) développer et réduire (x + y)^2 - (x - y)^2 :
= x^2 + 2xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)
= x^2 - x^2 + 2xy + 2xy + y^2 - y^2
= 4xy
3) en déduire (x - y)^2 puis (x - y) justifie :
(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4 * 96
(x - y)^2 = (x + y)^2 - 384
(x - y)^2 = 20^2 - 384
(x - y)^2 = 400 - 384
(x - y)^2 = 16
(x - y) = 4
4) en déduire (x + y) + (x - y) puis x et y :
(x + y) + (x - y) = 20 + 4
(x + y) + (x - y) = 24
x + x + y - y = 24
2x = 24
x = 24/2
x = 12
x + y = 20
y = 20 - x
y = 20 - 12
y = 8
B) une solution à la manière de Diophante :
1) si les 2 nombres étaient égaux et de somme 20, quels seraient ces 2 nombres :
2x = 20
x = 20/2
x = 10
Ce serait : 10
Est ce une solution du problème posé :
10 + 10 = 20
10 * 10 = 100
Donc non
2) les 2 nombres n’étant pas égaux on s’intéresse à leur écart à avec 10. On écrit alors le plus grand des deux nombres donc x sous la forme x = 10 + a
a) exprimer y en fonction de a :
x + y = 20
10 + a + y = 20
y = 20 - 10 - a
y = 10 - a
b) exprimer le produit xy en fonction de a :
xy = (10 + a)(10 - a)
xy = 100 - a^2
c) en déduire l’équation dont a est solution puis la valeur de a :
100 - a^2 = 96
a^2 = 100 - 96
a^2 = 4
a = 2
d) en déduire x et y. Vérifier ce résultat :
x = 10 + a
x = 10 + 2
x = 12
y = 10 - a
y = 10 - 2
y = 8
