Réponse :
Bonjour,
je vais repondre au premier exercice
poste une autre question pour le deuxieme
Explications étape par étape
1)
Je ne sais pas trop ce que tu as dans ton cours.
connais tu l'équation caractéristique d'une équation différentielle ?
L'équation caracteristique de cette équation différentielle est
1000x+5 = 0
donc x = -5/1000 = -1/200
Donc les solutions sont de la forme y(t)=kexp(-t/200) avec k réel
une autre maniere de le voir est d'écrire (en supposant que y ne s'annule pas)
c'est la méthode des physiciens
1000y'+5y=0
1000y'=-5y
y'/y = -5/1000 = -1/200
en "intégrant" cela donne
ln(y) = -1/200t + une constante
d'ou y(t) = k exp(-t/200)
2)
prenon g(t) = a
(E) donne 5a=6000 donc a=6000/5 = 1200
3)
la solution générale de (E) est donc
y(t)=kexp(-t/200)+1200 avec k réel
4)
a)
Nous avons la condition initiale y(0)=0
donc k+1200=0 d'où k = -1200 et y(t) = 1200 (1 - exp(-t/200))
b)
2% de 40 000 donnent 800
nous cherchons t tel que y(t) = 800 soit
1200 ( 1 - exp(-t/200)) = 800
1 - exp(-t/200) = 800/1200 = 8/12 = 2/3 donc
exp(-t/200) = 1 -2/3 = 1/3 donc
-t/200 = -ln(3)
t = 200 ln(3) = 220 minutes en arrondissant à l'unité
5)
lim(exp(-t/200)) = 0
donc lim(y(t)) = 1200 pour t tendant vers l'infini
