EXERCICE 1
1. On a ABCD un carré de côté a. Ainsi, DNC est un triangle rectangle en D.
De par le théorème de Pythagore, on a CN²=a²+(1/4a)²=a²+1/16a²=
Donc CN= [tex]\sqrt{(\frac{17}{16}a^{2} })[/tex]=[tex]\frac{\sqrt17}{4}a[/tex]
De la même façon, ANM est un triangle rectangle en A, et NM²=AN²+AM²= (3/4a)²+(2/3a)²= 9/16a²+4/9a²=145/144a²
Donc NM = [tex]\sqrt{\frac{145}{144}a^2}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{145}}{12}a[/tex]
2. [tex]\vec{NC}[/tex]·[tex]\vec{NM}[/tex] = cos(∠CNM) * ║[tex]\vec{NC}[/tex]║*║[tex]\vec{NM}[/tex]║= cos(∠CNM) * [tex]\frac{\sqrt17}{4}a[/tex] *[tex]\frac{\sqrt{145}}{12}a[/tex]
= cos(∠CNM) * [tex]\frac{\sqrt17}{4}a^2[/tex] *[tex]\frac{\sqrt{145}}{12}[/tex]
De plus, [tex]\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}[/tex] avec [tex]\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)[/tex] et [tex]\vec{u}\left(x, y\right)[/tex].
On imagine que les coordonnées du point A sont A(0;0). Ainsi, le vecteur [tex]\vec{NC}[/tex] a pour coordonnées [tex]\vec{NC}[/tex](DC;DN), soit [tex]\vec{NC}[/tex](a;1/4a)
Et [tex]\vec{NM}[/tex](AM;NA) soit [tex]\vec{NM}[/tex](2/3a;3/4a)
Donc [tex]\vec{NC}[/tex]·[tex]\vec{NM}[/tex] =2/3a*a+3/4a*1/4a= 2/3a²+3/16a²=41/48a²
Donc [tex]\vec{NC}[/tex]·[tex]\vec{NM}[/tex]=41/48a²= cos(∠CNM) * [tex]\frac{\sqrt17}{4}a[/tex] *[tex]\frac{\sqrt{145}}{12}a[/tex]
Donc cos(∠CNM) = (41/48)/([tex]\frac{\sqrt17}{4}[/tex]*[tex]\frac{\sqrt{145}}{12}[/tex]) ≈ 0.825
Donc la valeur de l'angle ∠CNM est égal à ArcCos(0.825)=34.3°
EXERCICE 2
1. [tex]\vec{IB}=\vec{IA}+\vec{AB}[/tex] or [tex]\vec{IA} + 4\vec{IB}= \vec{0}[/tex] donc [tex]\vec{IA}=-4\vec{IB}[/tex] donc [tex]-\frac{1}{4}\vec{IA}=\vec{IB}[/tex]
[tex]\vec{IB}=\vec{IA}+\vec{AB}[/tex]=[tex]-\frac{1}{4}\vec{IA}[/tex] = [tex]\frac{1}{4}\vec{AI}[/tex]=[tex]-\vec{AI}+\vec{AB}[/tex]
Ce qui implique [tex]\frac{1}{4}\vec{AI}[/tex][tex]+\vec{AI}[/tex]=[tex]\frac{5}{4}\vec{AI}=\vec{AB}[/tex] Et donc [tex]\vec{AI}=\frac{4}{5}\vec{AB}[/tex]
2. (voir pièce jointe)
3. [tex]\vec{AI}[/tex]·[tex]\vec{AC}[/tex] = cos(∠[tex]\vec{AI}[/tex];[tex]\vec{AC}[/tex]) * ║[tex]\vec{AC}[/tex]║*║[tex]\vec{AI}[/tex]║= cos(60°)*[tex]\sqrt{2}[/tex]a*(4/5)a=[tex]\frac{1}{2}*\frac{4\sqrt{2}}{5}a^2[/tex]
En effet, la somme des angles d'un triangle est égale à 180°,
donc ∠[tex]\vec{AI}[/tex];[tex]\vec{AC}[/tex] = (180)/3=60, car ABC est de côté a.
[tex]\vec{AJ}[/tex]·[tex]\vec{AC}[/tex]=cos(∠[tex]\vec{AJ}[/tex];[tex]\vec{AC}[/tex]) * ║[tex]\vec{AC}[/tex]║*║[tex]\vec{AJ}[/tex]║= cos(0°)*[tex]\sqrt{2}[/tex]a*(2/5)a=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{2\sqrt{2}}{5}a^2[/tex]
En effet, ∠[tex]\vec{AJ}[/tex];[tex]\vec{AC}[/tex]=0° car J∈[AC] (voir figure)
4. On a ainsi [tex]\vec{AJ}[/tex]·[tex]\vec{AC}[/tex]=[tex]\vec{AI}[/tex]·[tex]\vec{AC}[/tex], par conséquent, [tex]\vec{AJ}[/tex]·[tex]\vec{AC}[/tex]-[tex]\vec{AI}[/tex]·[tex]\vec{AC}[/tex]=0,
donc [tex]\vec{AC}[/tex]([tex]\vec{AJ}[/tex]-[tex]\vec{AI}[/tex]) = [tex]\vec{AC}[/tex]·([tex]\vec{AJ}[/tex]+[tex]\vec{IA}[/tex]) =[tex]\vec{AC}[/tex] ·[tex]\vec{IJ}[/tex]=0, donc les vecteurs [tex]\vec{AC}[/tex] et [tex]\vec{IJ}[/tex] sont orthogonaux, donc (IJ) et (AC) sont parallèles.
