Réponse :
Bonsoir, f(x)=(x²-3)/e^x sur R
Explications étape par étape
1) étude de f(x) sur R
a) Limites
x tend vers-oo, x²-3 tend vers+oo et e^x tend vers 0+ donc f(x) tend vers+oo
si x tend vers+oo, x²-3 tend vers +oo et e^x tend vers +oo (FI) mais la fonction e^x croît beaucoup plus vite que la fonction x² par les crioissances comparées la fonction f(x) tend vers 0+
b) Dérivée
f'(x)=[2x*e^x-e^x(x²-3)]/e^2x=e^x(-x²+2x+3=/e^2x
cette dérivée s'annule si -x²+2x+3=0 solutions x=-1 et x=3
c) Tableau de signes de la dérivée et de variations de la fonction
x -oo -1 3 +oo
f'(x)...........-......................0.................+........................0...................-.................
f(x)+oo......décroi........f(-1)...........croi.......................f(3).............décroi..........0+
f(-1)=(1-3)/e^-1=-2e et f(3)=(9-3)/e³=6/e³
2) Tangente au point x=0
on appliqiue la formule
y=f'(0)(x-0)+f(0)=3x-3
3) Il te reste à tracer la courbe
A priori le point de tangence (0;-3) est un point d'inflexion la courbure change de sens . Alors ne sois pas surpris si la tangente coupe la courbe. Il faudrait le vérifier avec la dérivée seconde f"(x)
