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On considère un cercle (C1) de centre O, de diamètre [AB] et de rayon 6 cm. Soit E un point du segment [OB] tel que OE = 4 cm. Soit (C2) le cercle de centre E passant par B, (C2) recoupe [OB] en G. Soit M un point de (C2) tel que BM= 2 cm. La droite (BM) recoupe (C1) en P. a) Quelle est la nature du triangle GMB et celle du triangle APB. b) Calculer la distance MG. c) Démontrer que les droites (AP) et (MG) sont parallèles. En déduire AP et BP. d) La parallèle a (BP) passant par O coupe [AP] en I. Prouver que I est le milieu de [AP].

Sagot :

Wyrm

a) Ces triangles sont rectangles.

En effet, GMB a pour côté [GB], or [GB] est le diamètre du cercle de centre E (C2), ainsi, et puisque tout triangle ayant pour côté l'un des diamètres de son cercle circonscrit est rectangle, GMB est rectangle.

De la même manière, APB a pour côté [AB], or [AB] est l'un des diamètres du cercle (C1), et ainsi, pour les mêmes raisons que ci-dessus, APB est rectangle.

b) D'après le théorème de Pythagore, GB² = GM² + MB²

Donc MG²=GB²-MB²

MG=[tex]\sqrt{GB^2-MB^2}[/tex] = [tex]\sqrt{4^2-2^2}[/tex], en effet, OB-OG=GB=6-(OE- rayon de C2)

GB=6-4+2=4

MG = [tex]\sqrt{12}[/tex] ≈ 3.46

c) Les triangles APB et GMB sont respectivement rectangles en P et M.

P∈(MB) et, évidemment, M∈(MB). Ainsi, les droites (AP) et (MG) sont perpendiculaires à une même troisième, (MB). Ainsi, (AP) et (MG) sont parallèles.

Les triangles APB et GMB ont ainsi deux angles identiques; leur angle droit, et l'angle ∠GBM, qu'ils partagent. On peut donc calculer un coefficient d'agrandissement liant les longueurs des côtés des deux triangles.

On a GB = OB-OG=6-2=4 et AB=12. Or 12/4 = 3, le coefficient d'agrandissement est donc 3. Par conséquent, AP = 3*MG = 3[tex]\sqrt{12}[/tex]

Quant à BP, on a BP=MB*3=2*3=6.

d) Cette question est la plus complexe. Se référer au schéma joint pour s'aider. Prolongeons le segment [GM], et traçons le cercle C3 de centre D avec D le milieu de [OG].

On obtient alors, si l'on prolonge la parallèle à (BP) passant par O, un triangle OHG, avec pour l'un de ses côtés [OG], le diamètre de C3, son cercle circonscrit. Ainsi, OHG est rectangle en H. De plus, les angles ∠OGH et ∠MGB étant opposés par le sommet, ils sont égaux. Ainsi, les triangles OHG et GMB ont deux angles égaux, on peut ainsi trouver un coefficient de réduction k liant les longueurs des côtés des deux rectangles. On a alors k=[tex]\frac{OG}{OB}[/tex]=2/4

Donc k*GM=HG=2/4*[tex]\sqrt{12}[/tex]=1/2

Calculons désormais HM.

HM = HG+GM=1/2[tex]\sqrt{12}[/tex]+[tex]\sqrt{12}[/tex]=3/2[tex]\sqrt{12}[/tex]

Or, puisque (IH) est la parallèle a (BP) passant par O, IP=HM

Calculons désormais 1/2AP.

1/2AP=1/2*3[tex]\sqrt{12}[/tex]=3/2[tex]\sqrt{12}[/tex]

Donc 1/2AP=IP. I est bien le milieu de [AP]

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