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Bonjour,j'aurais besoin d'aide pour cette exercice je n'ai vraiment pas compris

ABCD est un parallélogramme. I est le milieu de [AB] et K le milieu de [CD].
(BK) coupe (AC) en M et (DI) coupe (AC) en N.

1) Démontrer que AN = NM = MC.

2) Quel rôle joue le point N pour le triangle ABD ? Justifier.

Bonjourjaurais Besoin Daide Pour Cette Exercice Je Nai Vraiment Pas Compris ABCD Est Un Parallélogramme I Est Le Milieu De AB Et K Le Milieu De CD BK Coupe AC E class=

Sagot :

joeldongmo57

Réponse :

Bonjour/ bonsoir, deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont:

  • de même sens
  • de même direction
  • et de même longueur

Pour montrer que deux vecteurs ont la même direction, il suffit de montrer que leurs droites de support sont parallèles.

Explications étape par étape

1) Pour l'exercice qui nous est soumis, nous procèderons comme suit:

 [tex]Si\ \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{0}\\et\ \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}[/tex]     Alors AN=NM=MC

  • [tex]\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}[/tex]

Ici nous allons utiliser la règle de Chasles, laquelle on obtient:

[tex]\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IN})-(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC})\\=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{IN}-\overrightarrow{MK}\\=\overrightarrow{0}\ car\ \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{KC}\ et\ \overrightarrow{IN}=\overrightarrow{MK}[/tex]

Donc par conséquent, [tex]\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MC}[/tex]

  • [tex]\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{NM}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IN})-(\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KM})\\=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{IN}-\overrightarrow{ND}-\overrightarrow{KM}\\=\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{ND}[/tex]

Or, si nous considérons les droites (OK) et (BC) (Cf figure jointe), nous pouvons appliquer le théorème de Thalès tel que:

[tex]\frac{OK}{BC}=\frac{KM}{MB}\\ \\\frac{1/2BC}{BC}= \frac{KM}{MB}\\ \\ \frac{1}{2}=\frac{KM}{MB}\\ \\ KM = \frac{1}{2}MB=\frac{1}{2}ND[/tex]

Ainsi, comme IN=KM, on obtient:

[tex]\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{ND}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ND}+\frac{1}{2} \overrightarrow{ND}-\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}[/tex]

Conclusion: AN=NM=MC

2) Rôle de N pour le triangle ABD

N constituele centre de gravité du triangle ABD car nous avons

[tex]\frac{AN}{AO}= \frac{AN}{2/3AN}=\frac{2}{3}\\\\Et \frac{DN}{DI}=\frac{2}{3}[/tex]

Pour aller plus loin sur des questions géométriques..https://nosdevoirs.fr/devoir/239280

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