1) Bonne réponse [tex]\vec{AB}.\vec{AC}=AB\times AC\times cos(\theta)[/tex] avec ici teta=60° puisqu'on est dans un triangle équilatéral (donc cos(teta)=0,5 d’après les formules de trigo)
Et donc le produit scalaire vaut bien 4x4x0,5=8
2)Encore bonne réponse, c'est toujours le même calcul sauf que maintenant teta=180° et donc cos(teta)=-1
3)On a [tex]\left\|\vec{AB}\right\|=\sqrt{(xb-xa)^{2} +(yb-ya)^{2} } =\sqrt{2^{2}+2^{2} } \neq 4[/tex] donc la a est fausse
On va utiliser la formule suivante [tex]\vec{AB}.\vec{AC}=(xb-xa)\times (xc-xa) + (yb-ya)\times (yc-ya)[/tex] pour faire les différents calculs
AB.AC= 14-4=10 donc b vraie
BA.BC=-2 différent de 0 donc non orthogonaux donc c fausse
CB.CA=43 donc d vraie
4)comme cos(BAC)=-0,5 on a forcément a et d fausses
Pour calculer BC il y a pleins de méthode, je t'en propose une :
On va se placer dans un repère où A est l'origine donc A(0,0) et on va mettre B 4 carreaux au dessus donc B(0,4). Maintenant comme on sait que AC=5 et que [tex]AC=\sqrt{xc^{2}+yc^{2} }[/tex]
et AB.AC=-10=4yc
on détermine que [tex]C(\frac{5\sqrt{3} }{2},-\frac{5}{2} )[/tex]
et on peut alors calculer que BC²=61 donc réponse b juste
5)On a [tex]\vec{AB}.\vec{AC}=AB\times AC\times cos(x)[/tex] avec AB=6 et AC=8
On cherche cos(x) que l'on va déterminer grâce aux formules de trigonométrie dans le triangle rectangle ACD et le point D qui est le milieu de AB (de telle sorte que CD soit la hauteur du triangle ABC)
On a alors AD=3 et [tex]cos(x)=\frac{adjacent}{hypothenuse} =\frac{3}{8}[/tex]
D'où AB.AC = 6x8x3/8 = 18 donc réponse D
