1)a) [tex]f(x)=2x^{3} -3x=x(2x^{2}-3)[/tex] pour factoriser [tex]2x^{2} -3[/tex] on va utiliser l'identité remarquable [tex]a^{2} -b^{2} = (a-b)(a+b)[/tex] et donc ici [tex]a=x\sqrt{2}\\ b=\sqrt{3}[/tex]
Au final [tex]f(x)=x(x\sqrt{2} -\sqrt{3})(x\sqrt{2} +\sqrt{3} )[/tex]
b) x est négatif entre -∞ et 0 et positif entre O et +∞
(x√2 - √3) est négatif entre -∞ et √3/√2 et positif entre √3/√2 et +∞ (simple étude d'une fonction affine)
De même (x√2 + √3) est négatif entre -∞ et -√3/√2 et positif entre -√3/√2 et +∞
On a donc le tableau de signe suivant : entre -∞ et -√3/√2 f est négative, entre -√3/√2 et 0 f est positive entre 0 et √3/√2 f est négative et f est de nouveau positive après √3/√2
2) f(x)≥0 pour x ∈ [-√3/√2;0]∪[√3/√2;+∞[ il suffit de regarder où la courbe est au dessus de l'axe des abscisses.
