Réponse : Bonjour,
a)
[tex]\displaystyle a_{0}=\frac{(\frac{3}{2}+1)\times 1}{2}=\frac{\frac{5}{2}}{2}=\frac{5}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{5}{4}\\a_{1}=\frac{(2+\frac{3}{2})\times 1}{2}=\frac{\frac{7}{2}}{2}=\frac{7}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{7}{4}\\a_{2}=\frac{(\frac{5}{2}+2)\times 1}{2}=\frac{\frac{9}{2}}{2}=\frac{9}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{9}{4}[/tex]
b) On a pour tout n entier naturel:
[tex]\displaystyle a_{n}=\frac{(\frac{1}{2}(n+1)+1+\frac{1}{2}n+1)\times 1}{2}=\frac{\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}n+1}{2}=\frac{n+\frac{5}{2}}{2}\\=\left(n+\frac{5}{2}\right) \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}n+\frac{5}{4}[/tex]
c) Pour tout entier naturel n:
[tex]\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}n+\frac{5}{4}[/tex]
On en déduit que la suite [tex](a_{n})[/tex], est arithmétique de raison [tex]\displaystyle r=\frac{5}{4}[/tex], et de premier terme [tex]\displaystyle a_{0}=\frac{5}{4}[/tex].
d) D'après la formule de la somme d'une suite arithmétique:
[tex]\displaystyle S_{n}=(n+1) \times \frac{a_{0}+a_{n}}{2}=(n+1) \times \frac{\frac{5}{4}+\frac{1}{2}n+\frac{5}{4}}{2}=(n+1) \times \frac{\frac{1}{2}n+\frac{5}{2}}{2}\\=(n+1) \times \left(\frac{1}{2}n+\frac{5}{2}\right) \times \frac{1}{2}=(n+1)\left(\frac{1}{4}n+\frac{5}{4}\right)=\frac{1}{4}n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{1}{4}n+\frac{5}{4}\\=\frac{1}{4}n^{2}+\frac{3}{2}n+\frac{5}{4}[/tex]
Géométriquement, [tex]S_{n}[/tex] correspond à l'aire entre la droite d, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=0 (l'axe des ordonnées), et la droite d'équation x=n+1.
Si vous avez déjà vu les intégrales, alors:
[tex]\displaystyle S_{n}=\int_{0}^{n+1} \frac{1}{2}x+1 \; dx[/tex]