Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
je vais noter exp() pour la fonction exponentielle
f(x)= 5 + (x-4)exp(-x)
a)
pour connaitre la monotonie d une fonction nous pouvons etudier le signe de sa derivee
f est derivable sur [0;5] car somme et composee de fonctions qui le sont
ainsi f'(x) = exp(-x) + (x-4)(-exp(-x))
f'(x) = exp(-x) - (x-4) exp(-x)
f'(x) = (1-x+4)exp(-x)
f'(x) = (5-x)exp(-x)
pour x <= 5 (5-x) >= 0
et exp(-x) >= 0
donc f'(x) >= 0 pour 0 <= x <= 5
f est donc croissante sur cette intervalle
b)
D est le point de C et d abscisse 0
f(0) = 5 - 4 = 1
la tangent a C au point D est
y - 1 = f'(0) (x - 0) et comme f'(0) = 5
y = 5x +1
pour x = 4
y = 20+ 1 = 21
donc le point D n est pas sur la tangente
utilise geogebra pour voir la courbe representative
C est tres facile a utiliser et ca permet de controler les resultats
c)
l equation de la tangente en ce point est
y - f(5) = f'(5) (x-5)
or f'(5) = 0
donc c est de la forme y = constante
c est bien une droite parallele a l axe des abscisses
d)
f(5) = 5 + exp(-5)
or exp(-5) > 0
donc f(5) > 5
e)
pour x > 10
f(x) < 10^(-3) ?
j y crois pas trop
f(x) = 5 + (x-4)exp(-x)
exp(-x) > 0 et (x-4) > 0 pour x> 10
du coup f(x) > 5 pour x > 10
ca va etre dur de passer en dessous de 0.001 quand on est au dessus de 5 :-)
donc, e) n est pas vraie
