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Sagot :
Réponse : Bonjour,
1) Le point N est le point d'intersection de la droite (AM) et de l'axe des ordonnés.
Il nous faut donc calculer l'équation de la droite (AM).
On calcule d'abord le coefficient directeur a de (AM):
[tex]\displaystyle a=\frac{0-1}{t-1}=-\frac{1}{t-1}[/tex]
Le point A ∈ (AM), donc l'ordonnée à l'origine b vérifie:
[tex]\displaystyle 1=-\frac{1}{t-1} \times 1+b\\b=1+\frac{1}{t-1}=\frac{t-1+1}{t-1}=\frac{t}{t-1}[/tex]
Le point N a donc pour coordonnées, l'ordonnée à l'origine b de (AM), car comme N est le point d'intersection de (AM) et de l'axe des ordonnées, alors l'ordonnée du point N, est l'image de 0, par la droite (AM), donc l'ordonnée du point N est [tex]\displaystyle \frac{t}{t-1}[/tex].
Comme N est dur l'axe des ordonnées, alors son abscisse vaut 0.
Les coordonnées du point N sont donc:
[tex]\displaystyle N\left(0;\frac{t}{t-1}\right)[/tex]
On calcule maintenant la distance ON:
[tex]\displaystyle ON=\sqrt{(0-0)^{2}+\left(\frac{t}{t-1}-0\right)^{2}}=\mid \frac{t}{t-1}|=\frac{t}{t-1} \; car \; t > 1[/tex]
2) S(t) est l'aire du triangle OMN, donc:
[tex]\displaystyle S(t)=\frac{OM \times ON}{2}[/tex]
On connait ON, il nous reste qu'à calculer OM:
[tex]OM=\sqrt{(t-0)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{t^{2}}=|t|=t \; car \; t > 1[/tex]
Donc S(t) vaut:
[tex]\displaystyle S(t)=\frac{t \times \frac{t}{t-1}}{2}=\frac{\frac{t^{2}}{t-1}}{2}=\frac{t^{2}}{t-1} \times \frac{1}{2}=\frac{t^{2}}{2(t-1)}[/tex]
3) Pour déterminer la valeur de t, telle que l'aire S(t) soit minimale, il faut étudier les variations de S(t).
On calcule donc sa dérivée S'(t):
[tex]\displaystyle S'(t)=\frac{2t \times 2(t-1)-2 \times t^{2}}{(2(t-1))^{2}}=\frac{4t(t-1)-2t^{2}}{(2(t-1))^{2}}=\frac{4t^{2}-4t-2t^{2}}{(2(t-1))^{2}}\\=\frac{2t^{2}-4t}{(2(t-1))^{2}}=\frac{2(t^{2}-2t)}{(2(t-1))^{2}}=\frac{2(t(t-2))}{(2(t-1))^{2}}=\frac{2t(t-2)}{(2(t-1))^{2}}[/tex]
Le dénominateur est positif, pour tout t > 1, car un carré est toujours positif.
Donc S'(t) est du signe du numérateur 2t(t-2).
Comme t > 1, 2t > 0, donc S'(t) est du signe de t-2.
On résout l'inéquation:
[tex]t-2 \geq 0\\t \geq 2[/tex]
On a donc le tableau suivant:
t 1 2 +∞
S'(t) - Ф +
S(t) (décroissant) (croissant)
Au vu du tableau de variations précédent, S(t) a un minimum pour t=2.
Donc la valeur de t, telle que l'aire S(t) soit minimale est t=2.
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