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Bonjour je suis en seconde et je n'arrive pas à comprendre cet exercice de maths. J'ai beau m'y reprendre plusieurs fois, je n'arrive toujours pas à le comprendre. Pourriez vous si il vous plaît m'éclairer sur cet exo de maths :

Les dimensions du potager rectangulaire(x longueur; y largeur) de Jean et Edgar doivent être optimisées pour avoir la plus grande aire
pour un périmètre de 20 m.
a. Modéliser le problème de Jean et Edgar à l'aide d'une
fonction dont on précisera l'ensemble de définition.
b. Représenter cette fonction à l'aide d'une calculatrice
et conjecturer la réponse au problème : quelle est l'aire
maximale ?
C. Justifier que : quel que soit x eR, 25-10x + x2 > 0.
d. Démontrer la conjecture du maximum.
e. Conclure : Edgar avait-il raison de douter que le carré
soit la meilleure solution à leur projet ?​


Sagot :

Tenurf

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

aire du rectangle est x * y

le perimetre est 2x + 2y

Nous savons donc que 2x + 2y = 20

et nous voulons etudier la fonction qui donne l aire du rectangle A

A = x * y

Nous avons deux inconnues ce qui est un peu difficile a manipuler

pourrait on se ramener a une seule inconnue?

le perimetre doit etre egal a 20 ca nous donne une relation entre x et y soit

2x + 2y = 20 d ou x + y = 10

y = 10 - x

remplacons dans A cela donne

A = (10 - x) * x

A n est plus que fonction de x notons A(x)

A(x) = x (10 -x)

cherchons x tel que A(x) soit maximale

J ai joins une representation graphique de cette fonction

faite dans geogebra

de ce graphique je peux conjecturer que  

le maximum est 25 est il est atteint en x = 5

25 - 10 x + x^2 = (5-x)^2 [ identite remarquable - voir le cours ]

donc 25 - 10x + x^2 est toujours positif

et c est egale a 0 uniquement pour x = 5

A(x) = x (10 - x) = 10x -x^2

l equation de la question precedente est en fait 25 - A(x)

et nous avons vu que c est toujours positif et egale a 0 en x = 5

donc l aire est maximum en x = 5 et vaut A(5) = 25

Oui Edgar avait raison

car A(5) = 5 * 5 = 25

la longueur est egale a la largeur c est donc un carre

View image Tenurf
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